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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 1535605..12c28fe 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -102,18 +102,46 @@ Dies kann umgeformt werden zu \end{equation} +%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +%\begin{equation} +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +%\end{equation} +%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +%\begin{equation} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +%\end{equation} +%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} - \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. - +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst |