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path: root/buch/papers/parzyl
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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/D_plot.pngbin712446 -> 746370 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/v_plot.pngbin637451 -> 648430 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/references.bib9
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex32
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex165
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex29
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex85
7 files changed, 196 insertions, 124 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
index f76e35b..6c61eea 100644
--- a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
+++ b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
index b8c803e..7cd5455 100644
--- a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
+++ b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 40be69a..390d5ed 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -56,4 +56,13 @@
timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
year = 1972
+}
+
+@online{parzyl:coordinates,
+ title = {Parabolic cylindrical coordinates},
+ url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates},
+ date = {2022-08-17},
+ year = {2022},
+ month = {8},
+ day = {17}
} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4a6f8f4..8be936d 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -9,15 +9,18 @@
%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im
%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem,
+die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
\subsection{Helmholtz-Gleichung}
Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
- \nabla f = \lambda f
+ \Delta f = \lambda f
\end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator.
+Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
\begin{equation}
\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t)
=
@@ -27,7 +30,8 @@ mit Hilfe von Separation
\begin{equation}
u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
\end{equation}
-in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil,
+welcher zeitunabhängig ist
\begin{equation}
\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
\end{equation}
@@ -65,7 +69,8 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der
%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
\label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem,
+bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
x & = \sigma \tau \\
@@ -97,15 +102,15 @@ Ebene gezogen werden.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
-Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
-kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem mit
\begin{equation}
\left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 +
\left(dz\right)^2
\label{parzyl:eq:ds}
\end{equation}
ausgedrückt werden.
-Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass
\begin{equation}
\left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 +
\left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
@@ -145,16 +150,16 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
\end{align}
\subsection{Differentialgleichung}
Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen
-Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren
mitgerechnet werden.
-Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als
+Der Laplace Operator wird dadurch zu
\begin{equation}
\Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
\left(
\frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
\right)
- + \frac{\partial^2 f}{\partial z}.
+ + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
\label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
\end{equation}
\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
@@ -201,8 +206,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd
\begin{equation}
f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
\end{equation}
-gesetzt.
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
+gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
g''(\sigma)
-
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 673fa7f..13d8109 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -25,123 +25,160 @@ Die Lösung ist somit
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
\begin{definition}
- Die Funktion
+ Die Funktionen
\begin{equation*}
- W_{k,m}(z) =
- e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
+ M_{k,m}(x) =
+ e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{2}}
- + m - k, 1 + 2m; z)
+ + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
\end{equation*}
- heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
+ und
+ \begin{equation*}
+ W_{k,m}(x) = \frac{
+ \Gamma \left( -2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+ }
+ M_{-k, m} \left(x\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma \left( 2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+ }
+ M_{k, -m} \left(x\right)
+ \end{equation*}
+ gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
von der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
- \frac{d^2W}{d z^2} +
- \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+ \frac{d^2W}{d x^2} +
+ \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
\label{parzyl:eq:whitDiffEq}
\end{equation}
+
\end{definition}
Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
\begin{equation}
- w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+ w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
\end{equation}
als Lösung hat.
-Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
\begin{equation}
- \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
+ \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
\end{equation}
-resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie
-\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
$w$ als Lösung haben.
-Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
-eine sondern zwei Lösungen.
-Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
-Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
-\begin{align}
- w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
- w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
-\end{align}
-als Lösungen.
-Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
-\begin{align}
- \label{parzyl:eq:solution_dgl}
- w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
- {}_{1} F_{1}
- (
- {\textstyle \frac{1}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
- w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
- {}_{1} F_{1}
- ({\textstyle \frac{3}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
-\end{align}
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+% \label{parzyl:eq:solution_dgl}
+% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% (
+% {\textstyle \frac{1}{4}}
+% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% ({\textstyle \frac{3}{4}}
+% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
+
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
\begin{equation}
- D_n(z) = \frac{
- \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+ D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
+\begin{equation}
+ D_n(x) = \frac{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
}{
- \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
}
- M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
+
\frac{
- \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
+ \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
}{
\Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
}
- M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
-\end{equation}
-welche die Differentialgleichung
-\begin{equation}
- \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
\end{equation}
-löst.
-
-In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$
\begin{align}
- U(a,z) &=
+ U(a,x) &=
\cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
- - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
- V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \label{parzyl:eq:Uaz}
+ \\
+ V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
\sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
\right\}
+ \label{parzyl:eq:Vaz}
\end{align}
mit
\begin{align}
Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
- {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
- Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+ e^{-x^2/4}
+ {}_{1} F_{1}
+ \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}},
+ {\textstyle \frac{1}{2}} ;
+ {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
+ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
- {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+ {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}}
+ x e^{-x^2/4}
+ {}_{1} F_{1}
+ \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}},
+ {\textstyle \frac{3}{2}} ;
+ {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
\end{align}
der Differentialgleichung
\begin{equation}
- \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
+ \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
\end{equation}
beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
ausgedrückt werden
\begin{align}
- U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
- V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
- \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+ U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
+ V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+ \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
\end{align}
-TODO Plot
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind
+die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
- \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+ \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+ \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
\label{parzyl:fig:dnz}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
- \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+ \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+ \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
\label{parzyl:fig:Vnz}
\end{figure} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 4af6860..573432a 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -19,7 +19,7 @@ Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}
-Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
\begin{equation}
\frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
=
@@ -27,8 +27,9 @@ Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
\qquad
\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
=
- -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}.
+ -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
\end{equation}
+gelten.
Aus dieser Bedingung folgt
\begin{equation}
\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
@@ -53,7 +54,7 @@ Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem qu
\begin{equation}
\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
\begin{equation}
\phi(x,y) = U(x,y).
@@ -62,7 +63,8 @@ Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
\begin{equation}
E(x,y) = V(x,y).
\end{equation}
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
@@ -81,23 +83,22 @@ Dies kann umgeformt werden zu
i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
.
\end{equation}
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt,
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
- \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}},
+ \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
-und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\begin{equation}
\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
\begin{equation}
x = \sigma \tau,
\end{equation}
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right )
+ y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
\end{equation}
-
-
-
-
-
+so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 972fd33..166eebf 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -9,75 +9,96 @@
\subsection{Potenzreihenentwicklung
\label{parzyl:potenz}}
-Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
\begin{align}
- w_1(k,z)
+ w_1(\alpha,x)
&=
- e^{-z^2/4} \,
+ e^{-x^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
- {\textstyle \frac{1}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
- e^{-\frac{z^2}{4}}
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
- \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
- \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+ \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
&=
- e^{-\frac{z^2}{4}}
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
\left (
1
+
- \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!}
+ \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+
- \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!}
+ \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}
+
\dots
\right )
\end{align}
und
\begin{align}
- w_2(k,z)
+ w_2(\alpha,x)
&=
- ze^{-z^2/4} \,
+ xe^{-x^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
- {\textstyle \frac{3}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
- ze^{-\frac{z^2}{4}}
+ xe^{-\frac{x^2}{4}}
\sum^{\infty}_{n=0}
\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
- \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
&=
- e^{-\frac{z^2}{4}}
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
\left (
- z
+ x
+
- \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!}
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+
- \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!}
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}
+
\dots
- \right ).
+ \right )
\end{align}
-Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls
+sind.
+Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen.
+Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
- k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+ \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{equation}
-und bei $w_2(k,z)$ falls
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
- k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+ \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
-
+Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
\subsection{Ableitung}
-Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden.
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
\begin{equation}
- \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k),
+ \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
\end{equation}
-und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als
+und
+%\begin{equation}
+% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%\end{equation}
\begin{equation}
- \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+ \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+ x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+ {}_{1} F_{1} (
+ {\textstyle \frac{3}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+ \right)
\end{equation}
-Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden.
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.