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diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png Binary files differindex f76e35b..6c61eea 100644 --- a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png +++ b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png Binary files differindex b8c803e..7cd5455 100644 --- a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png +++ b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib index 40be69a..390d5ed 100644 --- a/buch/papers/parzyl/references.bib +++ b/buch/papers/parzyl/references.bib @@ -56,4 +56,13 @@ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, year = 1972 +} + +@online{parzyl:coordinates, + title = {Parabolic cylindrical coordinates}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates}, + date = {2022-08-17}, + year = {2022}, + month = {8}, + day = {17} }
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4a6f8f4..8be936d 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -9,15 +9,18 @@ %Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. %In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im %parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. -Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. +Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. +In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, +die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. \subsection{Helmholtz-Gleichung} Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \nabla f = \lambda f + \Delta f = \lambda f \end{equation} -ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. +Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung \begin{equation} \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) = @@ -27,7 +30,8 @@ mit Hilfe von Separation \begin{equation} u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) \end{equation} -in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, +welcher zeitunabhängig ist \begin{equation} \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). \end{equation} @@ -65,7 +69,8 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} -Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, +bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ @@ -97,15 +102,15 @@ Ebene gezogen werden. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. -Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet -kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 \label{parzyl:eq:ds} \end{equation} ausgedrückt werden. -Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 @@ -145,16 +150,16 @@ Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \end{align} \subsection{Differentialgleichung} Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen -Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren mitgerechnet werden. -Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +Der Laplace Operator wird dadurch zu \begin{equation} \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} \right) - + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}. \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} \end{equation} \subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} @@ -201,8 +206,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd \begin{equation} f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) \end{equation} -gesetzt. -Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen \begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} g''(\sigma) - diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 673fa7f..13d8109 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -25,123 +25,160 @@ Die Lösung ist somit Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} - Die Funktion + Die Funktionen \begin{equation*} - W_{k,m}(z) = - e^{-z/2} z^{m+1/2} \, + M_{k,m}(x) = + e^{-x/2} x^{m+1/2} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{2}} - + m - k, 1 + 2m; z) + + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} \end{equation*} - heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung + und + \begin{equation*} + W_{k,m}(x) = \frac{ + \Gamma \left( -2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) + } + M_{-k, m} \left(x\right) + + + \frac{ + \Gamma \left( 2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) + } + M_{k, -m} \left(x\right) + \end{equation*} + gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2W}{d z^2} + - \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \frac{d^2W}{d x^2} + + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} + \end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} - w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) + w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right) \end{equation} als Lösung hat. -Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus \begin{equation} - \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 + \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0 \label{parzyl:eq:weberDiffEq} \end{equation} -resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie -\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit $w$ als Lösung haben. -Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur -eine sondern zwei Lösungen. -Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. -Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} -\begin{align} - w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ - w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) -\end{align} -als Lösungen. -Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen -\begin{align} - \label{parzyl:eq:solution_dgl} - w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{4}} - - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ - w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ({\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). -\end{align} -In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. -Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung +%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +%eine sondern zwei Lösungen. +%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} +%\begin{align} +% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ +% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +%\end{align} +%als Lösungen. +%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen +%\begin{align} +% \label{parzyl:eq:solution_dgl} +% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, +% {}_{1} F_{1} +% ( +% {\textstyle \frac{1}{4}} +% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ +% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, +% {}_{1} F_{1} +% ({\textstyle \frac{3}{4}} +% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). +%\end{align} + +In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für +\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils +unterschiedlich geschrieben wird. +Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung \begin{equation} - D_n(z) = \frac{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right), +\end{equation} +welche die Differentialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0 +\end{equation} +löst. +Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert +\begin{equation} + D_n(x) = \frac{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right) + \frac{ - \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) -\end{equation} -welche die Differentialgleichung -\begin{equation} - \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right). \end{equation} -löst. - -In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ +In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ \begin{align} - U(a,z) &= + U(a,x) &= \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 - - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\ - V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ + - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 + \label{parzyl:eq:Uaz} + \\ + V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1 + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \right\} + \label{parzyl:eq:Vaz} \end{align} mit \begin{align} Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ - Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} + e^{-x^2/4} + {}_{1} F_{1} + \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, + {\textstyle \frac{1}{2}} ; + {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\ + Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} + x e^{-x^2/4} + {}_{1} F_{1} + \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, + {\textstyle \frac{3}{2}} ; + {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right) \end{align} der Differentialgleichung \begin{equation} - \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0 + \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0 \end{equation} beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} - U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\ - V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} - \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. + U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\ + V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} + \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} -TODO Plot +In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind +die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} - \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png} + \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.} \label{parzyl:fig:dnz} \end{figure} \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png} - \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} + \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png} + \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.} \label{parzyl:fig:Vnz} \end{figure}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 4af6860..573432a 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -19,7 +19,7 @@ Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. \end{equation} -Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass +Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} = @@ -27,8 +27,9 @@ Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass \qquad \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = - -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \end{equation} +gelten. Aus dieser Bedingung folgt \begin{equation} \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} @@ -53,7 +54,7 @@ Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem qu \begin{equation} \nabla^2\phi(x,y) = 0. \end{equation} -Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. +Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden \begin{equation} \phi(x,y) = U(x,y). @@ -62,7 +63,8 @@ Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld \begin{equation} E(x,y) = V(x,y). \end{equation} -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete +komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} @@ -81,23 +83,22 @@ Dies kann umgeformt werden zu i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} . \end{equation} -Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt, +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}, + \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst \begin{equation} x = \sigma \tau, \end{equation} \begin{equation} - y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ) + y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), \end{equation} - - - - - +so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 972fd33..166eebf 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -9,75 +9,96 @@ \subsection{Potenzreihenentwicklung \label{parzyl:potenz}} -Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt. +Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe \begin{align} - w_1(k,z) + w_1(\alpha,x) &= - e^{-z^2/4} \, + e^{-x^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{1}{4}} - - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - e^{-\frac{z^2}{4}} + e^{-\frac{x^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ &= - e^{-\frac{z^2}{4}} + e^{-\frac{x^2}{4}} \left ( 1 + - \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!} + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + - \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!} + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + \dots \right ) \end{align} und \begin{align} - w_2(k,z) + w_2(\alpha,x) &= - ze^{-z^2/4} \, + xe^{-x^2/4} \, {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - ze^{-\frac{z^2}{4}} + xe^{-\frac{x^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\ + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ &= - e^{-\frac{z^2}{4}} + e^{-\frac{x^2}{4}} \left ( - z + x + - \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!} + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + - \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!} + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + \dots - \right ). + \right ) \end{align} -Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls +sind. +Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. +Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls \begin{equation} - k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{equation} -und bei $w_2(k,z)$ falls +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} - k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0. + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} - +Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. \subsection{Ableitung} -Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen \begin{equation} - \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k), + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), \end{equation} -und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als +und +%\begin{equation} +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +%\end{equation} \begin{equation} - \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + \right) \end{equation} -Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden. +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. |
