diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/parzyl')
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/Makefile | 16 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/common.inc | 64 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg | bin | 0 -> 200681 bytes | |||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf | bin | 0 -> 208606 bytes | |||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/halfplane.png | bin | 0 -> 473623 bytes | |||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov | 201 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex | 41 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png | bin | 0 -> 209118 bytes | |||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/img/coordinates.png | bin | 0 -> 1215422 bytes | |||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/references.bib | 9 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/teil0.tex | 29 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/teil1.tex | 14 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/teil2.tex | 70 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/teil3.tex | 14 |
14 files changed, 411 insertions, 47 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/Makefile b/buch/papers/parzyl/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..4bd13ec --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/Makefile @@ -0,0 +1,16 @@ +# +# Makefile to build 3d images +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller +# + +all: halfplane.pdf + +halfplane.pdf: halfplane.tex halfplane.jpg + pdflatex halfplane.tex +halfplane.png: halfplane.pov + povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ohalfplane.png halfplane.pov +halfplane.jpg: halfplane.png Makefile + convert -extract 1280x1080+340+0 halfplane.png \ + -density 300 -units PixelsPerInch halfplane.jpg + diff --git a/buch/papers/parzyl/images/common.inc b/buch/papers/parzyl/images/common.inc new file mode 100644 index 0000000..28aed2b --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/common.inc @@ -0,0 +1,64 @@ +// +// common.inc -- some common useful tools for drawing 3d images +// +// (c) 2018 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +// + +// +// draw a right angle quarter circle at point <o> with legs <v1> and <v2> and +// color <c> +// +#declare rechterwinkelradius = 0.5; +#declare rechterwinkelthickness = 0.01; +#macro rechterwinkel(o, v1, v2, c) +intersection { + sphere { o, rechterwinkelradius } + #declare rnormale = vnormalize(vcross(v1, v2)); + plane { rnormale, vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 } + plane { -rnormale, -vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 } + plane { -v1, -vdot(o, v1) } + plane { -v2, -vdot(o, v2) } + pigment { + color c + } +} +sphere { o + 0.45 * (vnormalize(v1) +vnormalize(v2)) * rechterwinkelradius, + 0.05 * rechterwinkelradius / 0.5 + pigment { + color c + } +} +#end + +// +// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with +// color <c> +// +#macro arrow(from, to, arrowthickness, c) + #declare arrowdirection = vnormalize(to - from); + #declare arrowlength = vlength(to - from); + union { + sphere { + from, 1.1 * arrowthickness + } + cylinder { + from, + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + arrowthickness + } + cone { + from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection, + 2 * arrowthickness, + to, + 0 + } + pigment { + color c + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } + } +#end + diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..8cb5ae3 --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..7275810 --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..5beefa0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov new file mode 100644 index 0000000..419bb67 --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov @@ -0,0 +1,201 @@ +// +// 3dimage.pov +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller +// +#version 3.7; +#include "colors.inc" +#include "skies.inc" +#include "common.inc" + +global_settings { + assumed_gamma 1 +} + +#declare imagescale = 0.63; +#declare ar = 0.02; + +#declare Cameracenter = <5,3,-4>; +#declare Worldpoint = <0,-0.80, 0>; +#declare Lightsource = < 7,10,-3>; +#declare Lightdirection = vnormalize(Lightsource - Worldpoint); +#declare Lightaxis1 = vnormalize(vcross(Lightdirection, <0,1,0>)); +#declare Lightaxis2 = vnormalize(vcross(Lightaxis1, Lightdirection)); + +camera { + location Cameracenter + look_at Worldpoint + right 16/9 * x * imagescale + up y * imagescale +} + +light_source { + Lightsource color White + area_light Lightaxis1 Lightaxis2, 10, 10 + adaptive 1 + jitter +} + +sky_sphere { + pigment { + color White + } +} + +arrow( <-2.1, 0, 0 >, < 2.2, 0, 0 >, ar, White) +arrow( < 0, -1.1, 0 >, < 0, 1.3, 0 >, ar, White) +arrow( < 0, 0, -2 >, < 0, 0, 2.2 >, ar, White) + +#declare planecolor = rgb<0.2,0.6,1.0>; +#declare r = 0.01; + +#macro planebox() + box { <-2.1,-1.1,-2.1>, <0,1.1,2.1> } +#end + +intersection { + plane { <0, 0, 1>, 0.001 } + plane { <0, 0, -1>, 0.001 } + planebox() + pigment { + color planecolor transmit 0.3 + } + finish { + metallic + specular 0.95 + } +} + +#declare Xstep = 0.2; + +intersection { + union { + #declare X = 0; + #while (X > -2.5) + cylinder { <X,-3,0>, <X,+3,0>, r } + #declare X = X - Xstep; + #end + + #declare Y = Xstep; + #while (Y < 2.5) + cylinder { <-3, Y, 0>, <0, Y, 0>, r } + cylinder { <-3, -Y, 0>, <0, -Y, 0>, r } + #declare Y = Y + Xstep; + #end + } + planebox() + pigment { + color planecolor + } + finish { + metallic + specular 0.95 + } +} + +#declare parammin = -4; +#declare parammax = 4; +#declare paramsteps = 100; +#declare paramstep = (parammax - parammin) / paramsteps; + +#macro punkt(sigma, tau, Z) + < + 0.5 * (tau*tau - sigma*sigma) + Z, + sigma * tau, + > +#end + +#macro sigmasurface(sigma, farbe) + #declare taumin1 = 2/sigma; + #declare taumin2 = sqrt(4+sigma*sigma); + #if (taumin1 > taumin2) + #declare taumin = -taumin2; + #else + #declare taumin = -taumin1; + #end + + mesh { + #declare tau = taumin; + #declare taumax = -taumin; + #declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps; + #while (tau < taumax - taustep/2) + triangle { + punkt(sigma, tau, -1), + punkt(sigma, tau, 0), + punkt(sigma, tau + taustep, -1) + } + triangle { + punkt(sigma, tau + taustep, -1), + punkt(sigma, tau + taustep, 0), + punkt(sigma, tau, 0) + } + #declare tau = tau + taustep; + #end + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } + } + + union { + #declare tau = taumin; + #declare taumax = -taumin; + #declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps; + #while (tau < taumax - taustep/2) + sphere { punkt(sigma, tau, 0), r } + cylinder { + punkt(sigma, tau, 0), + punkt(sigma, tau + taustep, 0), + r + } + #declare tau = tau + taustep; + #end + sphere { punkt(sigma, tau, 0), r } + pigment { + color farbe + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } + + } +#end + +#declare greensurfacecolor = rgb<0.6,1.0,0.6>; +#declare redsurfacecolor = rgb<1.0,0.6,0.6>; + +sigmasurface(0.25, greensurfacecolor) +sigmasurface(0.5, greensurfacecolor) +sigmasurface(0.75, greensurfacecolor) +sigmasurface(1, greensurfacecolor) +sigmasurface(1.25, greensurfacecolor) +sigmasurface(1.5, greensurfacecolor) +sigmasurface(1.75, greensurfacecolor) +sigmasurface(2, greensurfacecolor) + +union { + sigmasurface(0.25, redsurfacecolor) + sigmasurface(0.5, redsurfacecolor) + sigmasurface(0.75, redsurfacecolor) + sigmasurface(1.00, redsurfacecolor) + sigmasurface(1.25, redsurfacecolor) + sigmasurface(1.5, redsurfacecolor) + sigmasurface(1.75, redsurfacecolor) + sigmasurface(2, redsurfacecolor) + rotate <0, 180, 0> +} + +box { <-2,-1,-2>, <2,-0.99,2> + pigment { + color rgb<1.0,0.8,0.6> transmit 0.8 + } + finish { + specular 0.9 + metallic + } +} diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex new file mode 100644 index 0000000..e470057 --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex @@ -0,0 +1,41 @@ +% +% halfplane.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{5} +\def\hoehe{4} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{halfplane.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node at (0,3.7) {$z$}; +\node at (3.3,-0.3) {$x$}; +\node at (2.7,2.5) {$y$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..f55e3cf --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png diff --git a/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0ea3701 --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib index 390d5ed..9639d0b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/references.bib +++ b/buch/papers/parzyl/references.bib @@ -65,4 +65,13 @@ year = {2022}, month = {8}, day = {17} +} + +@online{parzyl:scalefac, + title = {An introduction to curvlinear orthogonal coordinates}, + url = {http://dslavsk.sites.luc.edu/courses/phys301/classnotes/scalefactorscomplete.pdf}, + date = {2022-08-18}, + year = {2022}, + month = {08}, + day = {18} }
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 8be936d..3bf9257 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -19,8 +19,8 @@ Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \Delta f = \lambda f \end{equation} -ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. -Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator. +Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung \begin{equation} \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) = @@ -73,34 +73,35 @@ Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein kr bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} - x & = \sigma \tau \\ + x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} - y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ + y & = \sigma \tau\\ z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln +Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln \begin{equation} - y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) + x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} und \begin{equation} - y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). + x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). \end{equation} \begin{figure} \centering - \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} - \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein - konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} + \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png} + \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein + konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.} \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} -Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. +Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu -können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten kann im kartesischen Koordinatensystem mit @@ -123,11 +124,11 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 13d8109..0e1ad1b 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -13,13 +13,13 @@ Die Lösung ist somit i(z) = A\cos{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z + \left ( z + \sqrt{\lambda + \mu} \right )} + B\sin{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z + \left ( z + \sqrt{\lambda + \mu} \right )}. \end{equation} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} @@ -51,7 +51,7 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. M_{k, -m} \left(x\right) \end{equation*} gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen - von der Whittaker Differentialgleichung + der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d x^2} + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. @@ -94,8 +94,8 @@ $w$ als Lösung haben. % ({\textstyle \frac{3}{4}} % - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). %\end{align} - -In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für +\subsection{Standardlösungen} +In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils unterschiedlich geschrieben wird. Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 573432a..0cf4283 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -9,15 +9,27 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. \begin{figure} - \centering - \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte} - \label{parzyl:fig:leiterplatte} + \centering + \begin{minipage}{.7\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} + \end{minipage}% + \begin{minipage}{.25\textwidth} + \centering + \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} + \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} + \end{minipage} \end{figure} -Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht. +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. + + Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als \begin{equation} - F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. \end{equation} Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} @@ -49,23 +61,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt 0 }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. \end{equation} -Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. + + Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als \begin{equation} \nabla^2\phi(x,y) = 0. \end{equation} -Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. +Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. + + Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden \begin{equation} \phi(x,y) = U(x,y). \end{equation} -Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld +Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld \begin{equation} E(x,y) = V(x,y). \end{equation} + + Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. + + Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} F(s) @@ -83,22 +103,34 @@ Dies kann umgeformt werden zu i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} . \end{equation} + + Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als \begin{equation} - \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} \end{equation} beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom -kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{equation} - x = \sigma \tau, -\end{equation} -\begin{equation} - y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), -\end{equation} -so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 166eebf..1b59ed9 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -12,9 +12,9 @@ %Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, %können auch als Potenzreihen geschrieben werden Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. -Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt. -Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe +Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen +$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen \begin{align} w_1(\alpha,x) &= @@ -51,7 +51,7 @@ und = xe^{-\frac{x^2}{4}} \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ &= e^{-\frac{x^2}{4}} @@ -67,9 +67,9 @@ und \end{align} sind. Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. -Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden +Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. -Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{equation} @@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} -Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet. +Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt $\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. \subsection{Ableitung} |
