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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 239f8c7..02ce0f2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,8 +6,8 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution -in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit +Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst werden. \begin{definition} Die Funktion \begin{equation*} @@ -19,13 +19,31 @@ in die Whittaker Gleichung gelöst werden. + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung - von + von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d z^2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} \end{definition} - -Lösung Folgt\dots - - +Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +als Lösung hat. +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +\begin{equation} + \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 +\label{parzyl:eq:weberDiffEq} +\end{equation} +resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie +\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit +$w$ als Lösung haben. +Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +eine sondern zwei Lösungen. +Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +Somit ist +\begin{equation} + w = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +\end{equation} +eine weiter Lösung von \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}. |