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+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
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+%
+% eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen
+% Author: Erik Löffler
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Eigenschaften von Lösungen
+\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\rhead{Eigenschaften von Lösungen}
+
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
+zustande kommen.
+
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in 
+Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
+wurde, noch etwas genauer angeschaut.
+Es wird also im Folgenden
+\[
+    L_0
+    =
+    -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}
+\]
+zusammen mit den Randbedingungen
+\[
+    \begin{aligned}
+        k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+        k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+    \end{aligned}
+\]
+verwendet.
+Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits 
+gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+selbsadjungiert zu machen.
+Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
+für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
+
+\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz}
+
+Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in 
+den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt.
+
+Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix
+diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert.
+
+Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu 
+zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass
+\[
+    \langle Av, w \rangle
+    =
+    \langle v, Aw \rangle
+\]
+für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt.
+Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden.
+Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt.
+
+Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes.
+Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren
+\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das
+Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist.
+Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des
+Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den
+Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden.
+Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen,
+also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert,
+falls er selbstadjungiert ist.
+
+\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
+
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
+Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
+des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des
+Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
+
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und 
+erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
+Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
+Basisfunktionen ist.
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