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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4701b8a..2299c3c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -5,16 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% order: -% 1. State goal of showing examples in intro -% 2. Show Sturm-Liouville form -% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples -% (make singular property brief) -% -% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions -% Check for readability - \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen @@ -22,14 +12,10 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt. -Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen -Differentialgleichungen. -Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung. -Wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. +Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. +Handelt es sich um eine partielle +Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in +mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -45,15 +31,16 @@ als = 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung -bezeichnet. +geschrieben werden kann, dann wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als +Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -78,9 +65,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Abschnitt diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" @@ -105,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres -Sturm-Liouville-Problem. +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um +ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -131,6 +118,7 @@ Sturm-Liouville-Problem. \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere -Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung -eindeutig ist. +Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren. +Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen +nicht mehr nur aus Eigenvektoren. + |