Merge pull request #11 from haddoucher/sturmliouville/erik-branch

Sturmliouville/erik branch

1 files changed, 16 insertions, 28 deletions

diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 4701b8a..2299c3c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -5,16 +5,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-% TODO:
-% order:
-%   1. State goal of showing examples in intro
-%   2. Show Sturm-Liouville form
-%   3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
-%      (make singular property brief)
-%
-% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions
-% Check for readability 
-
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
@@ -22,14 +12,10 @@ Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
 französischen Mathematiker Joseph Liouville.
 Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
 entwickelt.
-Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
-Differentialgleichungen.
-Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung.
-Wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln. 
+Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
+Handelt es sich um eine partielle
+Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in
+mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln.
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -45,15 +31,16 @@ als
 	=
 	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
-bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als 
+Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
 in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} 
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
+Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
@@ -78,9 +65,9 @@ Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
 Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben
 einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
-im nächsten Kapitel diskutiert.
+im nächsten Abschnitt diskutiert.
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
@@ -105,8 +92,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
-Sturm-Liouville-Problem.
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um
+ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
@@ -131,6 +118,7 @@ Sturm-Liouville-Problem.
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
-Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutig ist.
+Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren.
+Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen
+nicht mehr nur aus Eigenvektoren.
+