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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 3817dc0..341a358 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -1,82 +1,107 @@ % % tschebyscheff_beispiel.tex +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}} -\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome +\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} +\rhead{Tschebyscheff-Polynome} +In diesem Unterkapitel wird anhand der +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden. +Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine +kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. + +\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} - w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ - p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ - q(x) &= 0 -\end{align*}. + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\ + q(x) &= 0. +\end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 + \frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) + + \biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y + = + 0 \end{equation} -nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, +ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. -\subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +\subsection*{Randwertproblem} +Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. +Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. +Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +erhält man +\begin{equation} + \begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ + k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0. + \end{aligned} +\end{equation} +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome +(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. +Somit erhält man \begin{equation} - T_n(x) = \cos n (\arccos x) -\end{equation}. -Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: + \begin{aligned} + k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0. + \end{aligned} +\end{equation} +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige +$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. + +\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} +Für das reguläre Problem muss laut der +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art \begin{equation} - T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ - (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. -\end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen. + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x). +\end{equation} +Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. Die Funktion \begin{equation*} p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{equation*} ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +die Bedingungen erfüllen. +Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem. -\subsubsection*{Randwertproblem} -Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man -\begin{equation} -\begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. -\end{aligned} -\end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. -Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). -Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. -Somit erhält man -\begin{equation} - \begin{aligned} - k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. -\end{aligned} -\end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion + illustriert. + Dazu verwendet man das Skalarprodukt + \[ + \int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0. + \] + mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. + Eigesetzt ergibt dies \[ - \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \begin{aligned} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= + \biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\ + &= 0. + \end{aligned} \] + Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind. + Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden. \end{beispiel} - - - - - - - - - - - - |