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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 5fb3a0c..341a358 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -5,7 +5,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Tschebyscheff-Polynome +\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \rhead{Tschebyscheff-Polynome} In diesem Unterkapitel wird anhand der @@ -16,7 +16,7 @@ Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. -\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} +\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} @@ -27,8 +27,8 @@ Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + - (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + \frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) + + \biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y = 0 \end{equation} @@ -36,7 +36,7 @@ nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. -\subsubsection*{Randwertproblem} +\subsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, @@ -63,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. -\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} +\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} Für das reguläre Problem muss laut der Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und @@ -91,14 +91,14 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu illustriert. Dazu verwendet man das Skalarprodukt \[ - \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. + \int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0. \] mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. Eigesetzt ergibt dies \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= - \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + \biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\ &= 0. \end{aligned} \] |