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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index ff32bf1..93a1eb0 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -139,8 +139,8 @@ An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein Sturm-Liouville-Problem ist. Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. -Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} -mit der +Um diese zu erhalten, wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu \[ @@ -166,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -287,7 +287,7 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im -allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. \subsubsection{Einsetzen der @@ -425,7 +425,7 @@ gilt, endet man somit bei \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. -Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen orthogonal zueinander sind bezüglich des Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}. Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus @@ -706,7 +706,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom +Dazu nimmt man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = |