diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 135 |
1 files changed, 78 insertions, 57 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 0ef1072..93a1eb0 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,12 +5,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab} -\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab} +\section{Beispiel: Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung -dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +dieses physikalischen Phänomens auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und @@ -35,6 +34,7 @@ werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen % +\subsection{Randbedingungen} \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die @@ -83,7 +83,8 @@ als Randbedingungen. % Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation % -\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} +\subsection{Separation der Differenzialgleichung +\label{sturmliouville:subsec:separation}} Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst @@ -113,7 +114,7 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = - \mu + \mu. \] Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: @@ -127,18 +128,37 @@ Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = - 0 + 0. \end{equation} % -% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen +% Überprüfung SLP, dann Orthogonalität der Lösungen % -Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in -Sturm-Liouville-Form ist. -Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des -Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle -Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein +Sturm-Liouville-Problem ist. +Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +benötigt. +Um diese zu erhalten, wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der +Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +verglichen, was zu +\[ +\begin{aligned} + p(x) &= 1 \\ + q(x) &= 0 \\ + w(x) &= 1 +\end{aligned} +\] +führt. + +Diese können bereits auf die Bedingungen in +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft +werden. +Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. +Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein +reguläres Sturm-Liouville-Problem und es kann bereits die Aussage gemacht +werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. @@ -146,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, dass $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -164,28 +184,6 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die -Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. -Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} -mit der -Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} -verglichen, was zu -\[ -\begin{aligned} - p(x) &= 1 \\ - q(x) &= 0 \\ - w(x) &= 1 -\end{aligned} -\] -führt. - -Diese können bereits auf die Bedingungen in -Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft -werden. -Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. -Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein -reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -204,6 +202,7 @@ und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. + Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit @@ -216,7 +215,7 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$x$}{x}} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -259,14 +258,14 @@ ergibt dies = 0 \] -und durch umformen somit +und durch Umformen somit \[ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] -Mittels Koeffizientenvergleich von +Mittels Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten von \[ \begin{aligned} -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) @@ -288,16 +287,19 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im -allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. +\subsubsection{Einsetzen der +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}} + Es werden nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. -Dies fürht zu +Dies führt zu \[ X(0) = @@ -324,7 +326,7 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{aligned} \] @@ -337,6 +339,9 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. +\subsubsection{Einsetzen der +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}} + Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. Setzt man die @@ -384,7 +389,7 @@ wie auch für den Stab mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -\subsubsection{Fourierreihe als Lösung} +\subsection{Fourierreihe als Lösung} Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell @@ -420,9 +425,21 @@ gilt, endet man somit bei \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. -Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen -orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines -Sturm-Liouville-Problems handelt. +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen +orthogonal zueinander sind bezüglich des +Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}. +Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:subsec:separation} bereits $w(x) = 1$ gegeben ist. +Somit ist das Skalarprodukt +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product} + \langle f, g \rangle_w + = + \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx + = + \int_a^b f(x)g(x)\,dx. +\end{equation} + Es gilt also \[ \begin{aligned} @@ -460,7 +477,8 @@ Es gilt also nun die Gleichung nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen -trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt +trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das +Skalarprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-dot-product} verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des @@ -472,14 +490,14 @@ Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} - \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + \biggl\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \biggr\rangle _w = - \langle a_0 + \biggl\langle a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), - \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\biggr\rangle _w \end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt @@ -513,7 +531,7 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \] Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale -um den Faktor zwei skalliert wurde. +um den Faktor $2$ skalliert wurde. Es gilt also \[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -586,8 +604,9 @@ Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite -berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst -mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: +berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. +Am einfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert +wird: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -609,7 +628,7 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \\ a_m &= - \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. \end{aligned} \] @@ -676,7 +695,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \\ a_0 &= - \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx + \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx. \end{aligned} \] @@ -684,10 +703,10 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} +\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom +Dazu nimmt man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = @@ -716,7 +735,9 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution \] ergibt. -Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt +\subsection{Lösung des Wärmeleitungsproblems} + +Nun können alle vorhergehenden Resultate zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} |