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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 14fca40..b22d5f5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -6,16 +6,16 @@ \subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} -In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem -homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses +In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab +betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. -Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. +Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} \end{equation} @@ -26,16 +26,17 @@ Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter Tempreatur gehalten werden. -%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%% - -\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} +% +% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen +% +\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene -Temperatur zurückgeben darf. +Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. Es folgen nun \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) = u(t,l) @@ -44,12 +45,14 @@ Es folgen nun \end{equation} als Randbedingungen. -%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden +% -\subsubsection{Stab mit isolierten Enden} +\subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und -$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab +$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen @@ -59,7 +62,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) @@ -68,13 +71,12 @@ Somit folgen \end{equation} als Randbedingungen. -%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% Lösung der Differenzialgleichung mittels Separation +% \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} -% TODO: Referenz Separationsmethode -% TODO: Formeln sauber in Text einbinden. - Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz die Separationsmethode verwendet. Dazu wird @@ -83,7 +85,9 @@ Dazu wird = T(t)X(x) \] -in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. +in die partielle +Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} +eingesetzt. Daraus ergibt sich \[ T^{\prime}(t)X(x) @@ -95,61 +99,70 @@ als neue Form. Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: -\begin{equation} +\[ \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)} = \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} = \mu -\end{equation} +\] Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-separated-x} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) = 0 \end{equation} \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-separated-t} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = 0 \end{equation} +% +% Überprüfung Orthogonalität der Lösungen +% + Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können +diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$. Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} + k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\ + k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} erfüllt sein und es muss ausserdem \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints} |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\ |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\ \end{aligned} \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst -$p(x)$. -Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der -Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu +Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst +$p(x)$ +benötigt. +Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +mit der +Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. -Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in -\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man +Werden nun $p(x)$ und die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält +man \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -157,10 +170,10 @@ Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen \end{aligned} \] Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein. -Zusätzlich müssen aber die Bedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und -da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$ -gewählt werden. +Zusätzlich müssen aber die +Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints} +erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ +und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und @@ -169,7 +182,12 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. -Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. +% +% Lösung von X(x), Teil mu +% + +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} +Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung \[ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) @@ -181,186 +199,429 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form \[ X(x) = - A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right). + A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right). \] -Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden -sind. +Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen +Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also \[ X^{\prime}(x) = - \alpha A \cos \left( \alpha x \right) - - \beta B \sin \left( \beta x \right) + - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) + + \beta B \cos \left( \beta x \right) \] und \[ X^{\prime \prime}(x) = - -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) - - \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right). + -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) - + \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right). \] -Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies +Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +ergibt dies \[ - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) - - \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) - + \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right) = 0 \] und durch umformen somit \[ - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) = - \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x). + \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x). \] Mittels Koeffizientenvergleich von \[ \begin{aligned} - -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) + -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) &= - \mu A\sin(\alpha x) + \mu A\cos(\alpha x) \\ - -\beta^{2}B\cos(\beta x) + -\beta^{2}B\sin(\beta x) &= - \mu B\cos(\beta x) + \mu B\sin(\beta x) \end{aligned} \] ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. -Dazu werden nochmals die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. -Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und -somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. +Dazu werden nochmals die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. -Es werden nun die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab -mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt. +Es werden nun die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. Dies fürht zu \[ X(0) = - A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta) + A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta) = 0. \] -Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten. -Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. +Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten. +Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt. -Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt +Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt sich \[ X(l) = - A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l) + 0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l) = - A \sin(\alpha l) + B \sin(\beta l) = 0. \] -$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt. -Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen: +$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt. +Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} - \sin(\alpha l) &= 0 \\ - \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \sin(\beta l) &= 0 \\ + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} \end{aligned} \] -Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass -\begin{equation} - \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} -\end{equation} +Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass +\[ + \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} +\] sein muss. -Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist. -Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine +Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. +Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzen wir nun die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$ -ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +Setzt man nun die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = - \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta) + -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta) = 0. \] -In diesem Fall muss $A = 0$ gelten. +In diesem Fall muss $B = 0$ gelten. Zusammen mit der Bedignung für $x = l$ folgt nun \[ X^{\prime}(l) = - 0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l) + - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l) = - -\beta B \sin(\beta l) + - \alpha A \sin(\alpha l) = 0. \] -Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ \begin{aligned} - \sin(\beta l) &= 0 \\ - \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \sin(\alpha l) &= 0 \\ + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} \end{aligned} \] und somit \[ - \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. + \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \] Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur wie auch mit isolierten Enden \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \mu = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -%%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. +% Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt. Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei $A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt. Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$ unterschiedlich sein. -Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu +Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu \[ X(x) = - a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + a_0 + - b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] -was für jedes $n$ wiederum eine Linearkombination aus orthogonalen Funktionen -ist. -Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. -Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom +Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere +Bedingungen benötigt. +Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. +Es gilt also nun die Gleichung +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} + u(0, x) + = + a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\end{equation} +nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen. +Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion +gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen +trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt +verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. +Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in +\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des +Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer +Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. + +Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das +Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ +gebildet: +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} + \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle + = + \langle a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle +\end{equation} + +Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt +sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. +In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze +Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. +Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges +Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. +Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem +neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und +$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ +gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: +\[ +\begin{aligned} + \hat{u}_c(0, x) + &= + \begin{cases} + u(0, -x) & -l \leq x < 0 + \\ + u(0, x) & 0 \leq x \leq l + \end{cases} + \\ + \hat{u}_s(0, x) + &= + \begin{cases} + -u(0, -x) & -l \leq x < 0 + \\ + u(0, x) & 0 \leq x \leq l + \end{cases}. +\end{aligned} +\] + +Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei +skalliert wurde, also gilt nun +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \\ + \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. +\end{aligned} +\] + +Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} +berechnet: +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + =& + \int_{-l}^{l} \left[a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \\ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + =& + a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + + + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] + \\ + &+ + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]. +\end{aligned} +\] + +Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass +nahezu alle Terme verschwinden, denn +\[ + \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + = + 0 +\] +da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird, +\[ + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + = + 0 +\] +für $m\neq n$, da Cosinus-Funktionen mit verschiedenen Kreisfrequenzen +orthogonal zueinander stehen und +\[ + \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + = + 0 +\] +da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind. + +Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu +\[ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + = + a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx +\] +vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite +berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst +mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: +\[ + \begin{aligned} + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + a_m\frac{l}{m\pi}\int_{-m\pi}^{m\pi}\cos^2\left(u\right)du + \\ + &= + a_m\frac{l}{m\pi}\left[\frac{u}{2} + + \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi} + \\ + &= + a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + + \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - + \frac{-m\pi}{2} - + \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right) + \\ + &= + a_m l + \\ + a_m + &= + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \end{aligned} +\] + +Analog dazu kann durch das Bilden des Skalarproduktes mit +$ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass +\[ + b_m + = + \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx +\] +gilt. + +Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. +Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten +zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der +konstanten Funktion $1$. +Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten +der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das +Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet: +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx + &= + \int_{-l}^{l} a_0 + + + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)dx + \\ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx + &= + a_0 \int_{-l}^{l}dx + + + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + dx\right] + + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + dx\right]. +\end{aligned} +\] + +Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils +über ein Vielfaches der Periode integriert wird. +Es bleibt also noch +\[ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx + = + a_0 \int_{-l}^{l}dx +\] +, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: +\[ +\begin{aligned} + 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx + &= + a_0 \int_{-l}^{l}dx + \\ + &= + a_0 \left[x\right]_{x=-l}^{l} + \\ + &= + a_0(l - (-l)) + \\ + &= + a_0 \cdot 2l + \\ + a_0 + &= + \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx +\end{aligned} +\] + +% +% Lösung von T(t) +% + +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} +Zuletzt wird die zweite Gleichung der +Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. +Diese wird über das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = - 0. + 0 \] +gelöst. + Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur Lösung \[ @@ -368,8 +629,7 @@ Lösung = e^{-\kappa \mu t} \] -führt. -Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} +führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \[ T(t) = @@ -377,22 +637,24 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} \] ergibt. -% TODO: Rechenweg -TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: +Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt +werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. + +\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} u(t,x) &= - \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} + \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \\ - a_{n} + b_{n} &= \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx \end{aligned} \] -TODO: Rechenweg... Enden isoliert: +\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden} \[ \begin{aligned} u(t,x) |