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-rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex | 64 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 6085e75..4ab5e62 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,11 +5,6 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % - -\section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:solution-properties}} -\rhead{Eigenschaften von Lösungen} - % TODO: % state goal % use only what is necessary @@ -19,16 +14,59 @@ % % order: % 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue prolem -% 3. Sturm-Liouville operator (selfadjacent) -% 4. Spektralsatz (brief) +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem +% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) +% 4. Spectral theorem (brief) % 5. Base of orthonormal functions +\section{Eigenschaften von Lösungen +\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert. +Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt. +Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. +Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +geschlossen. + +\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} + +Das Eigenwertprobelm +\[ + A v + = + \lambda v +\] +für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$ +in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit +Matrixzerlegungen diskutiert. + +Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn +\[ + <Av, w> + = + <v, Aw> +\] +gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. +In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar +ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. + +\subsection{} + + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -% \section{OLD: Eigenschaften von Lösungen} -% \label{sturmliouville:section:solution-properties}} -% \rhead{Eigenschaften von Lösungen} +\iffalse + +\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen +%\label{sturmliouville:section:solution-properties} +} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften @@ -102,4 +140,6 @@ Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file +Basisfunktionen ist. + +\fi |