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diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..53fd305 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex @@ -0,0 +1,368 @@ +\documentclass[ngerman, aspectratio=169]{beamer} + +%style +\mode<presentation>{ + \usetheme{Frankfurt} +} +%packages +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[english]{babel} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{array} + +\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\usepackage{ragged2e} + +\usepackage{bm} % bold math +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{multirow} % multi row in tables +\usepackage{scrextend} + +\usepackage{tikz} + +\usepackage{algorithmic} + +%\usepackage{algorithm} % http://ctan.org/pkg/algorithm +%\usepackage{algpseudocode} % http://ctan.org/pkg/algorithmicx + +%\usepackage{algorithmicx} + + +%citations +\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + + + +\usefonttheme[onlymath]{serif} + +%Beamer Template modifications +%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink +\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink +\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green + +%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue +\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red} +\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic +\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points) +\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections +\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered] +\setbeamertemplate{subsection in toc}{% + \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par} + +\setbeamertemplate{itemize items}[circle] +\setbeamertemplate{description item}[circle] +\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true] +\beamertemplatenavigationsymbolsempty + +\setbeamercolor{footline}{fg=gray} +\setbeamertemplate{footline}{% + \hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols} + \hspace{0.5cm} + \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm} +} + +\usepackage{caption} +\captionsetup{labelformat=empty} + +%Title Page +\title{Riemannsche Zeta Funktion} +\author{Raphael Unterer} +\institute{Mathematisches Seminar 2022: Spezielle Funktionen} + +\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}} +\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}} +\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}} +\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}} +\newcommand*{\YE}{\textcolor{violet}} + + + + +\makeatletter +\newcount\my@repeat@count +\newcommand{\myrepeat}[2]{% + \begingroup + \my@repeat@count=\z@ + \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}% + \endgroup +} +\makeatother + + + + +\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc} + + +\begin{document} + + %Titelseite + \begin{frame} + \titlepage + \end{frame} + + %Inhaltsverzeichnis +% \begin{frame} +% \frametitle{Inhalt} +% \tableofcontents +% \end{frame} + + \section{Motivation} + + \begin{frame} + \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen} + \begin{equation*} + \sum_{n=1}^{\infty} n + = + 1 + 2 + 3 + \ldots + \infty + = + - \frac{1}{12} + \end{equation*} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen} + \begin{center} + \includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/youtube_screenshot.png} + \end{center} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Riemannsche Zeta Funktion} + \begin{equation*} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s} + \end{equation*} + \pause + \begin{equation*} + \zeta(-1) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^{-1}} + = + \sum_{n=1}^{\infty} n + \end{equation*} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Originaler Definitionsbereich} + Wir kennen die divergierende harmonische Reihe + \begin{equation*} + \zeta(1) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n} + \rightarrow + \infty, + \end{equation*} + und somit ist $\Re(s) > 1$. + \end{frame} + + \section{Analytische Fortsetzung} + \begin{frame} + \frametitle{Plan für die Analytische Fortsetzung von $\zeta(s)$} + \begin{center} + \input{../images/continuation_overview.tikz.tex} + \end{center} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} + Dirichletsche Etafunktion ist + \begin{equation*}\label{zeta:equation:eta} + \eta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, + \end{equation*} + und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$. + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} + \begin{align} + \zeta(s) + &= + \RD{ + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} + } + \\ + \frac{1}{2^{s-1}} + \zeta(s) + &= + \BL{ + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2} + } + \end{align} + \pause + \eqref{zeta:align1} - \eqref{zeta:align2}: + \begin{align*} + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) + \zeta(s) + &= + \RD{\frac{1}{1^s}} + \underbrace{-\BL{\frac{2}{2^s}} + \RD{\frac{1}{2^s}}}_{-\frac{1}{2^s}} + + \RD{\frac{1}{3^s}} + \underbrace{-\BL{\frac{2}{4^s}} + \RD{\frac{1}{4^s}}}_{-\frac{1}{4^s}} + \ldots + \\ + &= \eta(s) + \end{align*} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} + Somit haben wir die Fortsetzung gefunden als + \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1} + \zeta(s) + := + \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). + \end{equation} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Spiegelungseigenschaft für $\Re(s) < 0$} + \begin{equation*}\label{zeta:equation:functional} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + = + \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} + \zeta(1-s). + \end{equation*} + \end{frame} + %TODO maybe explain gamma-fct + + \section{Euler Produkt und Primzahlen} + \begin{frame} + \frametitle{Wieso ist die Zeta Funktion so bekannt?} + \begin{itemize} + \item Interessante Funktionswerte z.B. $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ + \item Primzahlenverteilung (Riemannhypothese) + \item Forschungsgebiet der analytischen Zahlentheorie seit dem 18. Jahrhundert + \item ... + \end{itemize} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Euler Produkt: Verbindung von Zeta und Primzahlen} + \begin{equation*} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^\infty + \frac{1}{n^s} + = + \prod_{p \in P} + \frac{1}{1-p^{-s}} + \end{equation*} + \pause + Geometrische Reihe + \begin{equation*} + \prod_{p \in P} + \frac{1}{1-p^{-s}} + = + \prod_{p \in P} + \left( + 1 + + + \frac{1}{p^s} + + + \frac{1}{p^{2s}} + + + \frac{1}{p^{3s}} + + + \ldots + \right) + \end{equation*} + \pause + Erste Terme ausmultiplizieren + \begin{align*} + \left( + 1 + + + \RD{\frac{1}{2^s}} + + + \GN{\frac{1}{2^{2s}}} + + + \frac{1}{2^{3s}} + + + \ldots + \right) + \left( + 1 + + + \BL{\frac{1}{3^s}} + + + \frac{1}{3^{2s}} + + + \frac{1}{3^{3s}} + + + \ldots + \right) + \left( + 1 + + + \YE{\frac{1}{5^s}} + + + \frac{1}{5^{2s}} + + + \frac{1}{5^{3s}} + + + \ldots + \right) + \ldots + \\ + = + 1 + + + \RD{\frac{1}{2^s}} + + + \BL{\frac{1}{3^s}} + + + \GN{\frac{1}{4^s}} + + + \YE{\frac{1}{5^s}} + + + \ldots + \end{align*} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Primzahlfunktion} + \begin{center} + \scalebox{0.5}{\input{../images/primzahlfunktion.pgf}} + \end{center} + \end{frame} + + + \section{Darstellungen} + + \begin{frame} + \frametitle{Farbcodierung} + \begin{center} + \scalebox{0.6}{\input{zeta_color_plot.pgf}} + \end{center} + \end{frame} + + \begin{frame} + \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=-1$ und $\Im(s)=0\ldots40$} + \begin{center} + \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_-1_plot.pgf}} + \end{center} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0$ und $\Im(s)=0\ldots40$} + \begin{center} + \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_0_plot.pgf}} + \end{center} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Konstanter Realteil $\Re(s)=0.5$ und $\Im(s)=0\ldots40$} + \begin{center} + \scalebox{0.6}{\input{../images/zeta_re_0.5_plot.pgf}} + \end{center} + \end{frame} + +\end{document} + |