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path: root/buch/papers/zeta/presentation
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-rw-r--r--buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex111
1 files changed, 74 insertions, 37 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
index 0833f14..bb6d515 100644
--- a/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/presentation/presentation.tex
@@ -181,44 +181,81 @@
\end{equation*}
und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$.
\end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
+ \begin{align}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+ \\
+ \frac{1}{2^{s-1}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{2}{(2n)^s} \label{zeta:align2}
+ \end{align}
+ \pause
+ \eqref{zeta:align1} - \eqref{zeta:align2}:
+ \begin{align*}
+ \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+ \zeta(s)
+ &=
+ \frac{1}{1^s}
+ \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+ + \frac{1}{3^s}
+ \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+ \ldots
+ \\
+ &= \eta(s)
+ \end{align*}
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
+ Somit haben wir die Fortsetzung gefunden als
+ \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
+ \zeta(s)
+ :=
+ \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+ \end{equation}
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Spiegelungseigenschaft für $\Re(s) < 0$}
+ \begin{equation*}\label{zeta:equation:functional}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ =
+ \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+ \zeta(1-s).
+ \end{equation*}
+ \end{frame}
+ %TODO maybe explain gamma-fct
+
+ \section{Euler Produkt und Primzahlen}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Wieso ist die Zeta Funktion so bekannt?}
+ \begin{itemize}
+ \item Interessante Funktionswerte z.B. $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$
+ \item Primzahlenverteilung (Riemannhypothese)
+ \item Forschungsgebiet der analytischen Zahlentheorie seit dem 18. Jahrhundert
+ \item ...
+ \end{itemize}
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Primzahlfunktion}
+ \begin{center}
+ \scalebox{0.5}{\input{../primzahlfunktion.pgf}}
+ \end{center}
+ \end{frame}
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Zusammenhang Zeta und Primzahlen}
+ %TODO
+ \end{frame}
+
+
+ \section{Weitere Eigenschaften}
+
-% Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
-% \begin{align}
-% \zeta(s)
-% &=
-% \sum_{n=1}^{\infty}
-% \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
-% \\
-% \frac{1}{2^{s-1}}
-% \zeta(s)
-% &=
-% \sum_{n=1}^{\infty}
-% \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
-% \end{align}
-% Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
-% \begin{align}
-% \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
-% \zeta(s)
-% &=
-% \frac{1}{1^s}
-% \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
-% + \frac{1}{3^s}
-% \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
-% \ldots
-% \\
-% &= \eta(s).
-% \end{align}
-% Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
-% \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
-% \zeta(s)
-% :=
-% \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
-% \end{equation}
-% \section{Euler Produkt}
-%
-% \section{Weitere Eigenschaften}
-%
-%
\end{document}