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path: root/buch/papers/zeta
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space:
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Diffstat (limited to 'buch/papers/zeta')
-rw-r--r--buch/papers/zeta/Makefile.inc7
-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex477
-rw-r--r--buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex18
-rw-r--r--buch/papers/zeta/einleitung.tex11
-rw-r--r--buch/papers/zeta/euler_product.tex85
-rw-r--r--buch/papers/zeta/main.tex33
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil0.tex22
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil1.tex55
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil2.tex40
-rw-r--r--buch/papers/zeta/teil3.tex40
-rw-r--r--buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex61
11 files changed, 663 insertions, 186 deletions
diff --git a/buch/papers/zeta/Makefile.inc b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
index 11c7697..14babe2 100644
--- a/buch/papers/zeta/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/zeta/Makefile.inc
@@ -7,8 +7,7 @@ dependencies-zeta = \
papers/zeta/packages.tex \
papers/zeta/main.tex \
papers/zeta/references.bib \
- papers/zeta/teil0.tex \
- papers/zeta/teil1.tex \
- papers/zeta/teil2.tex \
- papers/zeta/teil3.tex
+ papers/zeta/einleitung.tex \
+ papers/zeta/analytic_continuation.tex \
+ papers/zeta/zeta_gamma.tex \
diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
new file mode 100644
index 0000000..0ccc116
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -0,0 +1,477 @@
+\section{Analytische Fortsetzung} \label{zeta:section:analytische_fortsetzung}
+\rhead{Analytische Fortsetzung}
+
+Die analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion ist äusserst interessant.
+Sie ermöglicht die Berechnung von $\zeta(-1)$ und weiterer spannender Werte.
+So liegen zum Beispiel unendlich viele Nullstellen der Zetafunktion bei $\Re(s) = 0.5$.
+Diese sind relevant für die Primzahlverteilung und sind Gegenstand der Riemannschen Vermutung.
+
+Es werden zwei verschiedene Fortsetzungen benötigt.
+Die erste erweitert die Zetafunktion auf $\Re(s) > 0$.
+Die zweite verwendet eine Spiegelung an der $\Re(s) = 0.5$ Linie und erschliesst damit die ganze komplexe Ebene.
+Eine grafische Darstellung dieses Plans ist in Abbildung \ref{zeta:fig:continuation_overview} zu sehen.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \input{papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex}
+ \caption{
+ Die verschiedenen Abschnitte der Riemannschen Zetafunktion.
+ Die originale Definition von \eqref{zeta:equation1} ist im grünen Bereich gültig.
+ Für den blauen Bereich gilt \eqref{zeta:equation:fortsetzung1}.
+ Um den roten Bereich zu bekommen verwendet die Funktionalgleichung \eqref{zeta:equation:functional} eine Spiegelung an $\Re(s) = 0.5$.
+ }
+ \label{zeta:fig:continuation_overview}
+\end{figure}
+
+\subsection{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} \label{zeta:subsection:auf_bereich_ge_0}
+Zuerst definieren die Dirichletsche Etafunktion als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:eta}
+ \eta(s)
+ =
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
+\end{equation}
+wobei die Reihe bis auf die alternierenden Vorzeichen die selbe wie in der Zetafunktion ist.
+Diese Etafunktion konvergiert gemäss dem Leibnitz-Kriterium im Bereich $\Re(s) > 0$, da dann die einzelnen Glieder monoton fallend sind.
+
+Wenn wir es nun schaffen, die sehr ähnliche Zetafunktion durch die Etafunktion auszudrücken, dann haben die gesuchte Fortsetzung.
+Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
+\begin{align}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
+ \\
+ \frac{1}{2^{s-1}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
+\end{align}
+Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
+\begin{align}
+ \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
+ \zeta(s)
+ &=
+ \frac{1}{1^s}
+ \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
+ + \frac{1}{3^s}
+ \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
+ \ldots
+ \\
+ &= \eta(s).
+\end{align}
+Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
+\begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
+ \zeta(s)
+ :=
+ \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
+\end{equation}
+
+\subsection{Fortsetzung auf ganz $\mathbb{C}$} \label{zeta:subsection:auf_ganz}
+Für die Fortsetzung auf den Rest von $\mathbb{C}$, verwenden wir den Zusammenhang von Gamma- und Zetafunktion aus \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}.
+Wir beginnen damit, die Gammafunktion für den halben Funktionswert zu berechnen als
+\begin{equation}
+ \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+ =
+ \int_0^{\infty} t^{\frac{s}{2}-1} e^{-t} dt.
+\end{equation}
+Nun substituieren wir $t$ mit $t = \pi n^2 x$ und $dt=\pi n^2 dx$ und erhalten
+\begin{equation}
+ \Gamma \left( \frac{s}{2} \right)
+ =
+ \int_0^{\infty}
+ (\pi n^2)^{\frac{s}{2}}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ \,dx.
+\end{equation}
+Analog zum Abschnitt \ref{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion} teilen wir durch $(\pi n^2)^{\frac{s}{2}}$
+\begin{equation}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}} n^s}
+ =
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ \,dx,
+\end{equation}
+und finden Zeta durch die Summenbildung $\sum_{n=1}^{\infty}$
+\begin{equation}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ =
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ \,dx. \label{zeta:equation:integral1}
+\end{equation}
+Die Summe kürzen wir ab als $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\pi n^2 x}$.
+Im Abschnitt \ref{zeta:subsec:poisson_summation} wird die poissonsche Summenformel $\sum f(n) = \sum F(n)$ bewiesen.
+In unserem Problem ist $f(n) = e^{-\pi n^2 x}$ und die zugehörige Fouriertransformation $F(n)$ ist
+\begin{equation}
+ F(n)
+ =
+ \mathcal{F}
+ (
+ e^{-\pi n^2 x}
+ )
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}.
+\end{equation}
+Dadurch ergibt sich
+\begin{equation}\label{zeta:equation:psi}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ =
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}},
+\end{equation}
+wobei wir die Summen so verändern müssen, dass sie bei $n=1$ beginnen und wir $\psi(x)$ erhalten als
+\begin{align}
+ 2
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{-\pi n^2 x}
+ +
+ 1
+ &=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \left(
+ 2
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ e^{\frac{-n^2 \pi}{x}}
+ +
+ 1
+ \right)
+ \\
+ 2
+ \psi(x)
+ +
+ 1
+ &=
+ \frac{1}{\sqrt{x}}
+ \left(
+ 2
+ \psi\left(\frac{1}{x}\right)
+ +
+ 1
+ \right)
+ \\
+ \psi(x)
+ &=
+ - \frac{1}{2}
+ + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.\label{zeta:equation:psi}
+\end{align}
+Diese Gleichung wird später wichtig werden.
+
+Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:integral2}
+ \int_0^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ =
+ \underbrace{
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ }_{I_1}
+ +
+ \underbrace{
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ }_{I_2}
+ =
+ I_1 + I_2,
+\end{equation}
+wobei wir uns nun auf den ersten Teil $I_1$ konzentrieren werden.
+Dabei setzen wir die Definition von $\psi(x)$ aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
+\begin{align}
+ I_1
+ =
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \left(
+ - \frac{1}{2}
+ + \frac{\psi\left(\frac{1}{x} \right)}{\sqrt{x}}
+ + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
+ \right)
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ + \frac{1}{2}
+ \biggl(
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \biggl)
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \underbrace{
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi \left( \frac{1}{x} \right)
+ \,dx
+ }_{I_3}
+ +
+ \underbrace{
+ \frac{1}{2}
+ \int_0^1
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \,dx
+ }_{I_4}. \label{zeta:equation:integral3}
+\end{align}
+Dabei kann das zweite Integral $I_4$ gelöst werden als
+\begin{equation}
+ I_4
+ =
+ \frac{1}{2}
+ \int_0^1
+ x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ -
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \,dx
+ =
+ \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Das erste Integral $I_3$ aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+ I_3
+ =
+ \int_{\infty}^{1}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{-du}{u^2}
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ \frac{1}{u}
+ \right)^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{du}{u^2}
+ \\
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ \,dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+\begin{equation}
+ I_1
+ =
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ =
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ +
+ \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\begin{align}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ \nonumber
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{s(s-1)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{s(s-1)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}
+ +
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \right)
+ \psi(x)
+ \,dx
+ \\
+ &=
+ \frac{-1}{s(1-s)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ x^{\frac{1-s}{2}}
+ +
+ x^{\frac{s}{2}}
+ \right)
+ \frac{\psi(x)}{x}
+ \,dx,
+\end{align}
+zu erhalten.
+Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
+Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:functional}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ =
+ \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+ \zeta(1-s).
+\end{equation}
+%TODO Definitionen und Gleichungen klarer unterscheiden
+
+\subsection{Poissonsche Summenformel} \label{zeta:subsec:poisson_summation}
+
+Der Beweis für Gleichung \ref{zeta:equation:psi} folgt direkt durch die poissonsche Summenformel.
+Um diese zu beweisen, berechnen wir zunächst die Fourierreihe der Dirac Delta Funktion.
+
+\begin{lemma}
+ Die Fourierreihe der periodischen Dirac Delta Funktion $\sum \delta(x - 2\pi k)$ ist
+ \begin{equation} \label{zeta:equation:fourier_dirac}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(x - 2\pi k)
+ =
+ \frac{1}{2\pi}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ e^{i n x}.
+ \end{equation}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+ Eine Fourierreihe einer beliebigen periodischen Funktion $f(x)$ berechnet sich als
+ \begin{align}
+ f(x)
+ &=
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ c_n
+ e^{i n x} \\
+ c_n
+ &=
+ \frac{1}{2\pi}
+ \int_{-\pi}^{\pi}
+ f(x)
+ e^{-i n x}
+ \, dx.
+ \end{align}
+ Wenn $f(x)=\delta(x)$ eingesetz wird ergeben sich konstante Koeffizienten
+ \begin{equation}
+ c_n
+ =
+ \frac{1}{2\pi}
+ \int_{-\pi}^{\pi}
+ \delta(x)
+ e^{-i n x}
+ \, dx
+ =
+ \frac{1}{2\pi},
+ \end{equation}
+ womit die sehr einfache Fourierreihe der Dirac Delta Funktion berechnet wäre.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Poissonsche Summernformel]
+ Die Summe einer Funktion $f(n)$ über alle ganzen Zahlen $n$ ist äquivalent zur Summe ihrer Fouriertransformation $F(k)$ über alle ganzen Zahlen $k$
+ \begin{equation}
+ \sum_{n=-\infty}^{\infty}
+ f(n)
+ =
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ F(k).
+ \end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+ Wir schreiben die Summe über die Fouriertransformation aus
+ \begin{align}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ F(k)
+ &=
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ e^{-i 2\pi x k}
+ \, dx
+ \\
+ &=
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ \underbrace{
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ e^{-i 2\pi x k}
+ }_{\text{\eqref{zeta:equation:fourier_dirac}}}
+ \, dx,
+ \end{align}
+ und verwenden die Fouriertransformation der Dirac Funktion aus \eqref{zeta:equation:fourier_dirac}
+ \begin{align}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ e^{-i 2\pi x k}
+ &=
+ 2 \pi
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(-2\pi x - 2\pi k)
+ \\
+ &=
+ \frac{2 \pi}{2 \pi}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(x + k).
+ \end{align}
+ Wenn wir dies einsetzen und erhalten wir den gesuchten Beweis für die poissonsche Summenformel
+ \begin{equation}
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ F(k)
+ =
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \delta(x + k)
+ \, dx
+ =
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ \int_{-\infty}^{\infty}
+ f(x)
+ \delta(x + k)
+ \, dx
+ =
+ \sum_{k=-\infty}^{\infty}
+ f(k).
+ \end{equation}
+\end{proof}
diff --git a/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..836ab1d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/continuation_overview.tikz.tex
@@ -0,0 +1,18 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=0.9cm, scale=2,
+ dot/.style={fill, circle, inner sep=0, minimum size=0.1cm}]
+
+ \draw[->] (-2,0) -- (-1,0) node[dot]{} node[anchor=north]{$-1$} -- (0,0) node[anchor=north west]{$0$} -- (0.5,0) node[anchor=north west]{$0.5$}-- (1,0) node[anchor=north west]{$1$} -- (2,0) node[anchor=west]{$\Re(s)$};
+
+ \draw[->] (0,-1.2) -- (0,1.2) node[anchor=south]{$\Im(s)$};
+ \begin{scope}[yscale=0.1]
+ \draw[] (1,-1) -- (1,1);
+ \end{scope}
+ \draw[dotted] (0.5,-1) -- (0.5,1);
+
+ \begin{scope}[]
+ \fill[opacity=0.2, red] (-1.8,1) rectangle (0, -1);
+ \fill[opacity=0.2, blue] (0,1) rectangle (1, -1);
+ \fill[opacity=0.2, green] (1,1) rectangle (1.8, -1);
+ \end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/zeta/einleitung.tex b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
new file mode 100644
index 0000000..3b70531
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,11 @@
+\section{Einleitung} \label{zeta:section:einleitung}
+\rhead{Einleitung}
+
+Die Riemannsche Zetafunktion ist für alle komplexe $s$ mit $\Re(s) > 1$ definiert als
+\begin{equation}\label{zeta:equation1}
+ \zeta(s)
+ =
+ \sum_{n=1}^{\infty}
+ \frac{1}{n^s}.
+\end{equation}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
new file mode 100644
index 0000000..a6ed512
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex
@@ -0,0 +1,85 @@
+\section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt}
+\rhead{Eulerprodukt}
+
+Das Eulerprodukt stellt die Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her.
+Diese Verbindung ist sehr wichtig, da durch sie eine Aussage zur Primzahlverteilung gemacht werden kann.
+Die Verteilung der Primzahlen ist Gegenstand der Riemannschen Vermutung, welche eines der grössten ungelösten Probleme der Mathematik ist.
+
+\begin{satz}
+ Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt
+ \begin{equation}\label{zeta:eq:eulerprodukt}
+ \zeta(s)
+ =
+ \sum_{n=1}^\infty
+ \frac{1}{n^s}
+ =
+ \prod_{p \in P}
+ \frac{1}{1-p^{-s}}
+ \end{equation}
+ wobei $P$ die Menge aller Primzahlen darstellt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+ Der Beweis startet mit dem Eulerprodukt und stellt dieses so um, dass die Zetafunktion erscheint.
+ Als erstes ersetzen wir die Faktoren durch geometrische Reihen
+ \begin{equation}
+ \prod_{i=1}^{\infty}
+ \frac{1}{1-p^{-s}}
+ =
+ \prod_{p \in P}
+ \sum_{k_i=0}^{\infty}
+ \left(
+ \frac{1}{p_i^s}
+ \right)^{k_i}
+ =
+ \prod_{p \in P}
+ \sum_{k_i=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_i^{s k_i}},
+ \end{equation}
+ dabei iteriert der Index $i$ über alle Primzahlen $p_i$.
+ Durch Ausschreiben der Multiplikation und Ausklammern der Summen erhalten wir
+ \begin{align}
+ \prod_{p \in P}
+ \sum_{k_i=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_i^{s k_i}}
+ &=
+ \sum_{k_1=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_1^{s k_1}}
+ \sum_{k_2=0}^{\infty}
+ \frac{1}{p_2^{s k_2}}
+ \ldots
+ \nonumber \\
+ &=
+ \sum_{k_1=0}^{\infty}
+ \sum_{k_2=0}^{\infty}
+ \ldots
+ \left(
+ \frac{1}{p_1^{k_1}}
+ \frac{1}{p_2^{k_2}}
+ \ldots
+ \right)^s.
+ \label{zeta:equation:eulerprodukt2}
+ \end{align}
+ Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann
+ \begin{equation}
+ n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}.
+ \end{equation}
+ Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit eine Zahl $n$.
+ Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält haben wir
+ \begin{equation}
+ \sum_{k_1=0}^{\infty}
+ \sum_{k_2=0}^{\infty}
+ \ldots
+ \left(
+ \frac{1}{p_1^{k_1}}
+ \frac{1}{p_2^{k_2}}
+ \ldots
+ \right)^s
+ =
+ \sum_{n=1}^\infty
+ \frac{1}{n^s}
+ =
+ \zeta(s)
+ \end{equation}
+\end{proof}
+
diff --git a/buch/papers/zeta/main.tex b/buch/papers/zeta/main.tex
index 1d9e059..caddace 100644
--- a/buch/papers/zeta/main.tex
+++ b/buch/papers/zeta/main.tex
@@ -3,34 +3,17 @@
%
% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
%
-\chapter{Thema\label{chapter:zeta}}
-\lhead{Thema}
+\chapter{Riemannsche Zetafunktion\label{chapter:zeta}}
+\lhead{Riemannsche Zetafunktion}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
+\chapterauthor{Raphael Unterer}
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht.
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile.
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt
-anzuwenden.
-\item
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+%TODO Einleitung
-\input{papers/zeta/teil0.tex}
-\input{papers/zeta/teil1.tex}
-\input{papers/zeta/teil2.tex}
-\input{papers/zeta/teil3.tex}
+\input{papers/zeta/einleitung.tex}
+\input{papers/zeta/euler_product.tex}
+\input{papers/zeta/zeta_gamma.tex}
+\input{papers/zeta/analytic_continuation.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/zeta/teil0.tex b/buch/papers/zeta/teil0.tex
deleted file mode 100644
index 56c0b1b..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil0.tex
+++ /dev/null
@@ -1,22 +0,0 @@
-%
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 0\label{zeta:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{zeta:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil1.tex b/buch/papers/zeta/teil1.tex
deleted file mode 100644
index 4017ee8..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,55 +0,0 @@
-%
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 1
-\label{zeta:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{zeta:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{zeta:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{zeta:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil2.tex b/buch/papers/zeta/teil2.tex
deleted file mode 100644
index 9e8a96e..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil2.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 2
-\label{zeta:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/teil3.tex b/buch/papers/zeta/teil3.tex
deleted file mode 100644
index 6610cc3..0000000
--- a/buch/papers/zeta/teil3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,40 +0,0 @@
-%
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
-%
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Teil 3
-\label{zeta:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{zeta:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
-
diff --git a/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..db41676
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/zeta/zeta_gamma.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+\section{Zusammenhang mit der Gammafunktion} \label{zeta:section:zusammenhang_mit_gammafunktion}
+\rhead{Zusammenhang mit der Gammafunktion}
+
+In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich die Zetafunktion durch die Gammafunktion $\Gamma(s)$ ausdrücken lässt.
+Dieser Zusammenhang der Art $\zeta(s) = f(\Gamma(s))$ ist nicht nur interessant, er wird später auch für die Herleitung der analytischen Fortsetzung gebraucht.
+
+Wir erinnern uns an die Definition der Gammafunktion in \eqref{buch:rekursion:gamma:integralbeweis}
+\begin{equation*}
+ \Gamma(s)
+ =
+ \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \,dt,
+\end{equation*}
+wobei die Notation an die Zetafunktion angepasst ist.
+Durch die Substitution von $t$ mit $t = nu$ und $dt = n\,du$ wird daraus
+\begin{align*}
+ \Gamma(s)
+ &=
+ \int_0^{\infty} n^{s-1}u^{s-1} e^{-nu} n \,du \\
+ &=
+ \int_0^{\infty} n^s u^{s-1} e^{-nu} \,du.
+\end{align*}
+Durch Division mit durch $n^s$ ergibt sich die Quotienten
+\begin{equation*}
+ \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+ =
+ \int_0^{\infty} u^{s-1} e^{-nu} \,du,
+\end{equation*}
+welche sich zur Zetafunktion summieren
+\begin{equation}
+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Gamma(s)}{n^s}
+ =
+ \Gamma(s) \zeta(s)
+ =
+ \int_0^{\infty} u^{s-1}
+ \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nu}
+ \,du.
+ \label{zeta:equation:zeta_gamma1}
+\end{equation}
+Die Summe über $e^{-nu}$ können wir als geometrische Reihe schreiben und erhalten
+\begin{align}
+ \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
+ &=
+ \sum_{n=0}^{\infty}\left(e^{-u}\right)^n
+ -
+ 1
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{1 - e^{-u}} - 1
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{e^u - 1}.
+\end{align}
+Wenn wir dieses Resultat einsetzen in \eqref{zeta:equation:zeta_gamma1} und durch $\Gamma(s)$ teilen, erhalten wir den gewünschten Zusammenhang
+\begin{equation}\label{zeta:equation:zeta_gamma_final}
+ \zeta(s)
+ =
+ \frac{1}{\Gamma(s)}
+ \int_0^{\infty}
+ \frac{u^{s-1}}{e^u -1}
+ du \qed
+\end{equation}
generated by cgit v1.2.1 (git 2.18.0) at 2024-07-05 22:02:59 +0200