aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers
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context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/0f1/teil2.tex18
-rw-r--r--buch/papers/0f1/teil3.tex4
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/D_plot.pngbin0 -> 712446 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/plane.pdfbin0 -> 2072 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/v_plot.pngbin0 -> 637451 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/main.tex4
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/references.bib24
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex110
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex135
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex44
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex81
11 files changed, 328 insertions, 92 deletions
diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 64f8d83..fdcb0fc 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -41,13 +41,13 @@ a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}},
in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
\subsubsection{Rekursionsbeziehungen und Kettenbrüche}
-Will man einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ finden, braucht man dazu eine Relation der analytischer Funktion $f_i(z)$.
-Nimmt man die Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
+Wenn es eine Relation analytischer Funktion $f_i(z)$ hat, dann gibt es einen Kettenbruch für das Verhältnis $\frac{f_i(z)}{f_{i-1}(z)}$ \cite{0f1:wiki-fraction}.
+Nimmt man die Gleichung
\begin{equation*}
f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
\end{equation*}
wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
-Ergibt sich folgender Zusammenhang:
+Ergibt sich der Zusammenhang
\begin{equation*}
\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}.
\end{equation*}
@@ -55,7 +55,7 @@ Geht man einen Schritt weiter und nimmt für $g_i = \frac{f_i}{f_{i-1}}$ an, kom
\begin{equation*}
g_i = \cfrac{1}{1+k_izg_{i+1}}.
\end{equation*}
-Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich folgendes:
+Setzt man dies nun für $g_1$ in den Bruch ein, ergibt sich
\begin{equation*}
g_1 = \cfrac{f_1}{f_0} = \cfrac{1}{1+k_izg_2} = \cfrac{1}{1+\cfrac{k_1z}{1+k_2zg_3}} = \cdots
\end{equation*}
@@ -76,19 +76,19 @@ kann durch Substitution bewiesen werden, dass
\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z)
\end{equation*}
eine Relation dazu ist.
-Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:
+Wenn man für $f_i$ und $k_i$ die Annahme
\begin{align*}
f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+i;z)\\
k_i =& \frac{1}{(c+i)(c+i-1)}
\end{align*}
-und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
+trifft und in die Formel \eqref{0f1:math:rekursion:eq} einsetzt, erhält man:
\begin{equation*}
\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
\end{equation*}
\subsubsection{Algorithmus}
Da mit obigen Formeln nur ein Verhältnis zwischen $ \frac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)}$ berechnet wurde, braucht es weitere Relationen um $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ zu erhalten.
-So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
+So ergeben ähnliche Relationen nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} den Kettenbruch
\begin{equation}
\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
@@ -112,7 +112,7 @@ lässt sich zu
\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
\end{align*}
umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise
+Dies lässt sich auch durch die Matrizenschreibweise
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A_k\\
@@ -137,7 +137,7 @@ Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
\begin{equation*}
\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
\end{equation*}
-an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
+an, ergibt sich die Matrixdarstellungen:
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 2afc34b..147668a 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -15,9 +15,9 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
\label{0f1:subsection:konvergenz}}
Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
-Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
+Erst wenn mehrerer Iterationen gerechnet werden, ist wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. Bei der Rekursionsformel muss beachtet werden, dass sie zwar erst nach 35 Approximationen gänzlich konvergiert, allerdings nach 27 Iterationen sich nicht mehr gross verändert.
-Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.
+Ist $z$ negativ, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme so klein, dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen. Während die Potenzreihe zusammen mit dem Kettenbruch nach 34 Approximationen konvergiert, braucht die Rekursionsformel noch zwei Iterationen mehr.
\subsection{Stabilität
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
new file mode 100644
index 0000000..f76e35b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c52c336
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
new file mode 100644
index 0000000..b8c803e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex
index 528a2e2..fd2aea7 100644
--- a/buch/papers/parzyl/main.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/main.tex
@@ -6,13 +6,13 @@
\chapter{Parabolische Zylinderfunktionen\label{chapter:parzyl}}
\lhead{Parabolische Zylinderfunktionen}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller}
+\chapterauthor{Alain Keller und Thierry Schwaller}
\input{papers/parzyl/teil0.tex}
\input{papers/parzyl/teil1.tex}
\input{papers/parzyl/teil2.tex}
-
+\input{papers/parzyl/teil3.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 494ff7c..40be69a 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -33,3 +33,27 @@
url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
}
+@book{parzyl:whittaker,
+ place={Cambridge},
+ edition={4},
+ series={Cambridge Mathematical Library},
+ title={A Course of Modern Analysis},
+ DOI={10.1017/CBO9780511608759},
+ publisher={Cambridge University Press},
+ author={Whittaker, E. T. and Watson, G. N.},
+ year={1996},
+ collection={Cambridge Mathematical Library}}
+
+@book{parzyl:abramowitz-stegun,
+ added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ address = {New York},
+ author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
+ edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing},
+ interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c},
+ intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f},
+ keywords = {Handbook},
+ publisher = {Dover},
+ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
+ year = 1972
+} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4b251db..4a6f8f4 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -4,42 +4,65 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
-Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im
-parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-\subsection{Laplace Gleichung}
-Die partielle Differentialgleichung
-\begin{equation}
- \Delta f = 0
-\end{equation}
-ist als Laplace-Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+\rhead{Einleitung}
+%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im
+%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+
+\subsection{Helmholtz-Gleichung}
+Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
- \Delta f = g
+ \nabla f = \lambda f
\end{equation}
-mit g als beliebige Funktion.
-In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten
-verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
-Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
\begin{equation}
- \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
-\label{parzyl:eq:max1}
+ \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t)
+ =
+ 0
\end{equation}
-besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem
-Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist.
-Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
-Potentials
+mit Hilfe von Separation
\begin{equation}
- \nabla \phi = E.
-\end{equation}
-Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+ u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
+\end{equation}
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist
\begin{equation}
- \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+ \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
\end{equation}
-was eine Possion-Gleichung ist.
-An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
+
+%\subsection{Laplace Gleichung}
+%Die partielle Differentialgleichung
+%\begin{equation}
+% \Delta f = 0
+%\end{equation}
+%ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+%\begin{equation}
+% \Delta f = g
+%\end{equation}
+%mit $g$ als beliebiger Funktion.
+%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
+%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen
+%\begin{equation}
+% \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+%\label{parzyl:eq:max1}
+%\end{equation}
+%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem
+%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
+%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+%Potentials
+%\begin{equation}
+% \nabla \phi = E.
+%\end{equation}
+%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+%\begin{equation}
+% \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+%\end{equation}
+%was eine Poisson-Gleichung ist.
+%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
\label{parzyl:subsection:finibus}}
Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
@@ -51,7 +74,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt
z & = z.
\label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln
+Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
\begin{equation}
y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
@@ -67,7 +90,6 @@ und
konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
\label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
-
Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
@@ -75,8 +97,6 @@ Ebene gezogen werden.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
-\dots
-
Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
\begin{equation}
@@ -85,7 +105,7 @@ kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
\label{parzyl:eq:ds}
\end{equation}
ausgedrückt werden.
-Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
\begin{equation}
\left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 +
\left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
@@ -106,7 +126,7 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = d \tilde{z} \\
+ = d \tilde{z}
\end{align}
substituiert.
Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
@@ -120,7 +140,7 @@ geschrieben, resultiert
Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
\begin{align}
h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
- h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+ h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
h_{z} &= 1.
\end{align}
\subsection{Differentialgleichung}
@@ -216,26 +236,12 @@ und
+
\mu
\right )
- i(\tau)
+ i(z)
=
0
\end{equation}
führt.
-Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
-\begin{equation}
- i(z)
- =
- A\cos{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
- \right )}
- +
- B\sin{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
- \right )}
-\end{equation}
-ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index f297189..673fa7f 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -5,24 +5,143 @@
%
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution
-in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
+\rhead{Lösung}
+
+\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
+Die Lösung ist somit
+\begin{equation}
+ i(z)
+ =
+ A\cos{
+ \left (
+ \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \right )}
+ +
+ B\sin{
+ \left (
+ \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \right )}.
+\end{equation}
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
+mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
\begin{definition}
Die Funktion
\begin{equation*}
W_{k,m}(z) =
e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
- {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z)
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + m - k, 1 + 2m; z)
\end{equation*}
heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
- von
+ von der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d z^2} +
\left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
+ \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
\end{equation}
\end{definition}
+Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
+\begin{equation}
+ w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{equation}
+als Lösung hat.
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+\begin{equation}
+ \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
+\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\end{equation}
+resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie
+\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+$w$ als Lösung haben.
+Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+eine sondern zwei Lösungen.
+Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\begin{align}
+ w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+ w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+\end{align}
+als Lösungen.
+Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+\begin{align}
+ \label{parzyl:eq:solution_dgl}
+ w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{4}}
+ - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+ w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ ({\textstyle \frac{3}{4}}
+ - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+\end{align}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
+\begin{equation}
+ D_n(z) = \frac{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
+ }
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
+ }{
+ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+ }
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
-Lösung Folgt\dots
-
-
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
+\begin{align}
+ U(a,z) &=
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
+ V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \right\}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+ Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+\end{align}
+der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
+\end{equation}
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+ U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
+ V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+ \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}
+TODO Plot
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+ \caption{$D_a(z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+ \label{parzyl:fig:dnz}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+ \caption{$V(a,z)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+ \label{parzyl:fig:Vnz}
+\end{figure} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 3f890d0..4af6860 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -5,16 +5,19 @@
%
\section{Anwendung in der Physik
\label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
+\rhead{Anwendung in der Physik}
-
-\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
-\label{parzyl:subsection:bonorum}}
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will.
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist.
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
+Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
- F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+ F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
\begin{equation}
@@ -35,7 +38,7 @@ Aus dieser Bedingung folgt
\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
=
0
- }_{\nabla^2U(x,y)=0}
+ }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
\qquad
\underbrace{
\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
@@ -43,26 +46,35 @@ Aus dieser Bedingung folgt
\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
=
0
- }_{\nabla^2V(x,y) = 0}.
+ }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
\end{equation}
-Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind.
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
\begin{equation}
\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
-Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet.
-Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes.
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
+\begin{equation}
+ \phi(x,y) = U(x,y).
+\end{equation}
+Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+\begin{equation}
+ E(x,y) = V(x,y).
+\end{equation}
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
+welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
- F(z)
+ F(s)
=
- \sqrt{z}
+ \sqrt{s}
=
\sqrt{x + iy}.
\end{equation}
Dies kann umgeformt werden zu
\begin{equation}
- F(z)
+ F(s)
=
\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 4e44bd6..972fd33 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -3,6 +3,81 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Teil 3
-\label{parzyl:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
+\section{Eigenschaften
+\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
+
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+ \label{parzyl:potenz}}
+Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+\begin{align}
+ w_1(k,z)
+ &=
+ e^{-z^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{4}}
+ - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ =
+ e^{-\frac{z^2}{4}}
+ \sum^{\infty}_{n=0}
+ \frac{\left ( \frac{1}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+ &=
+ e^{-\frac{z^2}{4}}
+ \left (
+ 1
+ +
+ \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\frac{z^2}{2!}
+ +
+ \left ( \frac{1}{2} - 2k \right )\left ( \frac{5}{2} - 2k \right )\frac{z^4}{4!}
+ +
+ \dots
+ \right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+ w_2(k,z)
+ &=
+ ze^{-z^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{3}{4}}
+ - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2)
+ =
+ ze^{-\frac{z^2}{4}}
+ \sum^{\infty}_{n=0}
+ \frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} z^2\right )^n}{n!} \\
+ &=
+ e^{-\frac{z^2}{4}}
+ \left (
+ z
+ +
+ \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\frac{z^3}{3!}
+ +
+ \left ( \frac{3}{2} - 2k \right )\left ( \frac{7}{2} - 2k \right )\frac{z^5}{5!}
+ +
+ \dots
+ \right ).
+\end{align}
+Bei den Potenzreihen sieht man gut, dass die Ordnung des Polynoms im generellen ins unendliche geht. Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte k das die Terme in der Klammer gleich null werden und das Polynom somit eine endliche Ordnung $n$ hat. Dies geschieht bei $w_1(k,z)$ falls
+\begin{equation}
+ k = \frac{1}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+\end{equation}
+und bei $w_2(k,z)$ falls
+\begin{equation}
+ k = \frac{3}{4} + n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+\end{equation}
+
+\subsection{Ableitung}
+Es kann gezeigt werden, dass die Ableitungen $\frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z}$ und $\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z}$ einen Zusammenhang zwischen $w_1(z,k)$ und $w_2(z,k)$ zeigen. Die Ableitung von $w_1(z,k)$ nach $z$ kann über die Produktregel berechnet werden und ist gegeben als
+\begin{equation}
+ \frac{\partial w_1(z,k)}{\partial z} = \left (\frac{1}{2} - 2k \right ) w_2(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_1(z,k),
+\end{equation}
+und die Ableitung von $w_2(z,k)$ als
+\begin{equation}
+ \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+\end{equation}
+Über diese Eigenschaft können einfach weitere Ableitungen berechnet werden.
+
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