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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore index a136337..47f7228 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore +++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore @@ -1 +1,3 @@ *.pdf +*.fls +*.fdb_latexmk
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index da25b36..4885694 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -35,6 +35,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun \begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) = u(t,l) @@ -58,6 +59,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen \begin{equation} + \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) @@ -120,6 +122,7 @@ Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. +Mehr dazu später. Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -181,11 +184,22 @@ Durch Koeffizientenvergleich von \end{aligned} \] ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für -$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. +$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. +Dazu werden die Randbedingungen +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und +\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. +Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und +somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können. -TODO: randbedingungen!!---- +Daraus ergibt sich für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur + +\begin{equation} + \mu + = + -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}} +\end{equation} Betrachten wir nun die zweite Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}. @@ -203,7 +217,7 @@ Lösung e^{-\kappa \mu t} \] führt. -Und mit mit dem Resultat von zuvor die Lösung +Und mit dem Resultat (TODO) die Lösung \[ T(t) = |