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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex | 46 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4582c95..4ed3752 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -38,8 +38,8 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + \lbrack q(x) + - \lambda w(x) \rbrack y + \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + + \lambda w(x)) y = 0 \end{equation} @@ -50,6 +50,8 @@ Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. + \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. @@ -64,39 +66,15 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -\subsection{Eigenwertproblem} -Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines -Eigenwertproblems. -Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles -konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere -Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; -der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. -Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben -andere Eigenvektoren. -Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. -Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar -\begin{equation} - \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y. -\end{equation} - -Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des -Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, -$\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ -orthogonal zu y - -dies gilt für das Intervall (a,b). -Somit ergibt die Gleichung -\begin{equation} - \label{eq:skalar-sturm-liouville} - \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0. -\end{equation} - -\subsection{Koeffizientenfunktionen} +\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}} Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf -die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. + + % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" @@ -120,9 +98,7 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige -Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu -kennen. +Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -136,7 +112,7 @@ kennen. Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. Schaut man jetzt die Bedingungen im - Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese + Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. |