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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index 94082cf..c0a6e8f 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -4,7 +4,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Beispiele -\label{sturmliouville:section:examples}} +\label{sturmliouville:sec:examples}} \rhead{Beispiele} % Fourier: Erik work diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 7c52a5c..d8e2112 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -20,7 +20,7 @@ % 5. Base of orthonormal functions \section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines @@ -34,7 +34,7 @@ dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion geschlossen. \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen -\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}} +\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}} % TODO: intro @@ -81,7 +81,7 @@ Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung \] in das Eigenwertproblem \begin{equation} - \label{sturmliouville:eigenvalue-problem} + \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} L y = \lambda y. @@ -90,12 +90,12 @@ umzuschreiben. \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} -Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher angeschaut. Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. Analog zur Matrix $A$ aus -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle L v, w\rangle diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 4ed3752..2552574 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -32,12 +32,12 @@ partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% Wenn die lineare homogene Differentialgleichung -\begin{equation} +\[ \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 -\end{equation} +\] als \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} + \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + \lambda w(x)) y = @@ -47,18 +47,20 @@ geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können -in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt -werden. +in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +umgewandelt werden. -Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die +Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. -\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} +\subsection{Randbedingungen +\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:randbedingungen} + \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. \end{aligned} @@ -66,26 +68,28 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}} +\subsection{Koeffizientenfunktionen +\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. -Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die +Sturm-Liouville-Form bringt. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. - - +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben +einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden +im nächsten Kapitel diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % \subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem -\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} - \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} + \label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} @@ -94,11 +98,13 @@ Bedingungen beachtet werden. \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei + \item Es gelten die Randbedingungen + \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. +Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres +Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -112,8 +118,9 @@ Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres S Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. Schaut man jetzt die Bedingungen im - Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit - unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: + Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und + vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige + Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index cad71d7..18e6198 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -5,15 +5,15 @@ % \subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? -\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ - q(x) &= 0 -\end{align*}. + q(x) &= 0. +\end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} @@ -27,7 +27,7 @@ ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \subsubsection*{regulär oder singulär?} Für das reguläre Problem laut der -Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe @@ -55,7 +55,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man +Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +erhält man \begin{equation} \begin{aligned} k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ @@ -81,8 +82,9 @@ auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und - $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit + $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 4992150..356e259 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -161,8 +161,8 @@ $p(x)$ benötigt. Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der -Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu -$p(x) = 1$ führt. +Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} |