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@@ -6,8 +6,8 @@
 
 \subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
 
-In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem
-homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
+In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
+betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
@@ -141,8 +141,9 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst
-$p(x)$.
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
+$p(x)$
+benötigt.
 Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
 Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
 $p(x) = 1$ führt.
@@ -169,7 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
 isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
 somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
-Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
+Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
 \[
     X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
@@ -290,7 +291,7 @@ Verletzung der Randbedingungen.
 
 Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
-Setzen wir nun die Randbedingungen
+Setzt man nun die Randbedingungen
 \eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
 ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
 \[
@@ -342,7 +343,7 @@ Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
 $A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
 Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
 unterschiedlich sein.
-Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
+Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
 \[
     X(x)
     =
@@ -433,14 +434,16 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
 \end{aligned}
 \]
 
-Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
-Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Diese wird über das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
     =
-    0.
+    0
 \]
+gelöst.
+
 Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
 Lösung
 \[