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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex104
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 58569e9..fb5f331 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -181,7 +181,7 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
\[
X(x)
=
- A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
+ A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
\]
Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung
@@ -191,41 +191,41 @@ Man erhält also
\[
X^{\prime}(x)
=
- \alpha A \cos \left( \alpha x \right) -
- \beta B \sin \left( \beta x \right)
+ - \alpha A \sin \left( \alpha x \right) +
+ \beta B \cos \left( \beta x \right)
\]
und
\[
X^{\prime \prime}(x)
=
- -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) -
- \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right).
+ -\alpha^{2} A \cos \left( \alpha x \right) -
+ \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
\]
Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
\[
- -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) -
- \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
+ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
+ \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
=
0
\]
und durch umformen somit
\[
- -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x)
+ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x)
=
- \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
+ \mu A\cos(\alpha x) + \mu B\sin(\beta x).
\]
Mittels Koeffizientenvergleich von
\[
\begin{aligned}
- -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
+ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x)
&=
- \mu A\sin(\alpha x)
+ \mu A\cos(\alpha x)
\\
- -\beta^{2}B\cos(\beta x)
+ -\beta^{2}B\sin(\beta x)
&=
- \mu B\cos(\beta x)
+ \mu B\sin(\beta x)
\end{aligned}
\]
ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
@@ -251,41 +251,41 @@ Dies fürht zu
\[
X(0)
=
- A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta)
+ A \cos(0 \alpha) + B \sin(0 \beta)
=
0.
\]
-Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten.
-Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $A = 0$ gelten.
+Für den zweiten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
-Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $A = 0$ eingesetzt, ergibt
sich
\[
X(l)
=
- A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l)
+ 0 \cos(\alpha l) + B \sin(\beta l)
=
- A \sin(\alpha l)
+ B \sin(\beta l)
= 0.
\]
-$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
-Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen:
+$\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt.
+Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
\[
\begin{aligned}
- \sin(\alpha l) &= 0 \\
- \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
- \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+ \sin(\beta l) &= 0 \\
+ \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+ \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
\end{aligned}
\]
-Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass
+Es folgt nun wegen $\mu = -\beta^{2}$, dass
\begin{equation}
- \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+ \mu_1 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
\end{equation}
sein muss.
-Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist.
-Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist.
+Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine
Verletzung der Randbedingungen.
Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
@@ -296,18 +296,18 @@ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
\[
X^{\prime}(0)
=
- \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta)
+ -\alpha A \sin(0 \alpha) + \beta B \cos(0 \beta)
= 0.
\]
-In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
+In diesem Fall muss $B = 0$ gelten.
Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
folgt nun
\[
X^{\prime}(l)
=
- 0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+ - \alpha A \sin(\alpha l) + 0 \beta \cos(\beta l)
=
- -\beta B \sin(\beta l)
+ - \alpha A \sin(\alpha l)
= 0.
\]
@@ -316,14 +316,14 @@ Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
Es folgt nun
\[
\begin{aligned}
- \sin(\beta l) &= 0 \\
- \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
- \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+ \sin(\alpha l) &= 0 \\
+ \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+ \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
\end{aligned}
\]
und somit
\[
- \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+ \mu_2 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
\]
Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
@@ -348,9 +348,9 @@ Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
=
a_0
+
- \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+
- \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
+ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
\]
Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
@@ -363,9 +363,9 @@ Es gilt also nun die Gleichung
=
a_0
+
- \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+
- \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\end{equation}
nach allen $a_n$ und $b_n$ aufzulösen.
Da aber $a_n$ und $b_n$ jeweils als Faktor zu einer trigonometrischen Funktion
@@ -378,17 +378,17 @@ Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
-Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
+Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
gebildet:
\[
- \langle u(0, x), sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
+ \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
=
\langle a_0
+
\sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+
\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right),
- sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle
\]
Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
@@ -399,24 +399,24 @@ Um die
\[
\begin{aligned}
- \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+ \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
=&
\int_{-l}^{l} \left[a_0
+
- \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+
- \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
- sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right]
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
\\
=&
- a_0 \int_{-l}^{l}sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+ a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
+
- \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
- sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
\\
&+
- \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
- sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
\end{aligned}
\]