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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 52 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index 868f241..cfa7386 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -381,7 +381,8 @@ Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: -\[ +\begin{equation} + \label{eq:slp-dot-product-cosine} \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle = \langle a_0 @@ -390,30 +391,56 @@ gebildet: + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)\rangle -\] +\end{equation} Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. -Um die skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über die ganze Periode -integriert werden. -Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es wird ausserdem -eine neue Funktion +Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges +Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. +Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem +neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und +$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $ +gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \[ - \hat{u}(0, x) - = +\begin{aligned} + \hat{u}_c(0, x) + &= \begin{cases} - u(0, x + l) & -l \leq x < 0 + u(0, -x) & -l \leq x < 0 \\ u(0, x) & 0 \leq x \leq l \end{cases} + \\ + \hat{u}_s(0, x) + &= + \begin{cases} + -u(0, -x) & -l \leq x < 0 + \\ + u(0, x) & 0 \leq x \leq l + \end{cases}. +\end{aligned} \] -angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt. -Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als + +Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei +skalliert wurde, also gilt nun +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \\ + \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. +\end{aligned} +\] + +Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet: \[ \begin{aligned} - \int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& \int_{-l}^{l} \left[a_0 + @@ -422,6 +449,7 @@ Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)\right] \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx \\ + 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + |