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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/050-differential/bessel.tex22
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex17
-rw-r--r--buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex5
-rw-r--r--buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex176
-rw-r--r--buch/chapters/references.bib11
6 files changed, 209 insertions, 24 deletions
diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
index cf271e3..4e1c58c 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
@@ -129,7 +129,8 @@ ist.
%
% Bessel-Funktionen erster Art
%
-\subsection{Bessel-Funktionen erster Art}
+\subsection{Bessel-Funktionen erster Art
+\label{buch:differentialgleichungen:subsection:bessel1steart}}
Für $\alpha \ge 0$ gibt es immer mindestens eine Lösung der Besselgleichung
als verallgemeinerte Potenzreihe mit $\varrho=\alpha$.
Die Funktion $q(x)=x^2-\alpha^2$ ist ein Polynom, die einzigen
@@ -344,6 +345,16 @@ J_{n}(x).
Insbesondere unterscheiden sich $J_n(x)$ und $J_{-n}(x)$ nur durch
ein Vorzeichen.
+Als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung erwarten wir noch
+eine zweite, linear unabhängige Lösung.
+Diese kann jedoch nicht allein mit der Potenzreihenmethode,
+dazu sind die Methoden der Funktionentheorie nötig.
+Im Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
+wird gezeigt, wie dies möglich ist und auf
+Seite~\pageref{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art}
+werden die damit zu findenden Bessel-Funktionen 0-ter Ordnung und
+zweiter Art vorgestellt.
+
%
% Erzeugende Funktione
%
@@ -519,15 +530,6 @@ J_0(x)
\]
geschrieben werden kann.
-Als lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung erwarten wir noch
-eine zweite, linear unabhängige Lösung.
-Diese kann jedoch nicht allein mit der Potenzreihenmethode,
-dazu sind die Methoden der Funktionentheorie nötig.
-Im Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
-wird gezeigt, wie dies möglich ist und auf
-Seite~\pageref{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art}
-werden die damit zu findenden Bessel-Funktionen 0-ter Ordnung und
-zweiter Art vorgestellt.
%
% Der Fall \alpha=p, p\in \mathbb{N}
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
index 6401e98..c4eaf97 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -443,7 +443,7 @@ schlägt eine zweite Lösung vor, im vorliegenden Fall mit $b=1$
ist die zweite Lösung jedoch identisch zu ersten, es muss daher
ein anderer Weg zu einer zweiten Lösung gesucht werden.
-XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung.
+%XXX TODO: zweite Lösung der Differentialgleichung.
%
%
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index 613a491..164cd9a 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -694,7 +694,8 @@ des Skalarproduktes mit der Laguerre-Gewichtsfunktion.
%
\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung
+bereits in Kapitel~\ref{buch:chapter:potenzen} hergeleiteten
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
\[
(1-x^2)y'' -xy' = n^2y
\]
@@ -737,14 +738,16 @@ bezüglich des Skalarproduktes
\subsubsection{Jacobi-Polynome}
Die Jacobi-Polynome sind orthogonal bezüglich des Skalarproduktes
mit der Gewichtsfunktion
-\(
+\[
w^{(\alpha,\beta)}(x) = (1-x)^\alpha(1+x)^\beta,
-\)
+\]
definiert in Definition~\ref{buch:orthogonal:def:jacobi-gewichtsfunktion}.
%Bei der Herleitung der Rodrigues-Formel für die Jacobi-Polynome wurde erkannt,
%dass $B(x)=1-x^2$ und $A(x)=\beta-\alpha-(\alpha+\beta)x$ sein muss.
-Man kann zeigen, dass die Jacobi-Polynome Lösungen der
-Jacobi-Differentialgleichung
+Man kann zeigen, dass sie Lösungen der
+{\em Jacobi-Diffe\-ren\-tial\-gleichung}
+\index{Jacobi-Differentialgleichung}%
+\index{Differentialgleichung!Jacobi}%
\begin{equation}
(1-x^2)y'' + (\beta-\alpha-(\alpha+\beta + 2)x)y' + n(n+\alpha+\beta+1)y=0
\label{buch:orthogonal:jacobi:dgl}
@@ -760,7 +763,7 @@ $p(x)$ so gefunden werden, dass
\frac{p'(x)}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} &= \beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x
\end{align*}
gilt.
-Der Quotient der ersten beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung
+Der Quotient der beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung
\[
(\log p(x))'
=
@@ -768,6 +771,7 @@ Der Quotient der ersten beiden Gleichungen ist die logarithmische Ableitung
=
\frac{1-x^2}{\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)x}
\]
+von $p(x)$,
die sich in geschlossener Form integrieren lässt.
Man findet als Stammfunktion
\[
@@ -811,6 +815,7 @@ als Sturm-Liouville-Differentialgleichung erkannt.
%\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation}
Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators
+\index{Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung!als Sturm-Liouville-Gleichung}%
bringen.
Dazu setzt man
\begin{align*}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
index b7b5325..aa1041a 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex
@@ -37,11 +37,6 @@ auf der rellen Achse hinaus fortsetzen.
\input{chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex}
\input{chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex}
-\section{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Aurgument-Prinzip
-\end{itemize}
-
\section*{Übungsaufgaben}
\rhead{Übungsaufgaben}
\aufgabetoplevel{chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
index 07204ab..6742865 100644
--- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
+++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/singularitaeten.tex
@@ -5,6 +5,9 @@
%
\newcommand*\sk{\vcenter{\hbox{\includegraphics[scale=0.8]{chapters/080-funktionentheorie/images/operator-1.pdf}}}}
+%
+% Löesung linearer Differentialgleichunge mit Singularitäten
+%
\subsection{Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit Singularitäten
\label{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}}
Die Potenzreihenmethode hat ermöglicht, mindestens eine Lösung gewisser
@@ -19,6 +22,9 @@ Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, warum dies nicht möglich war und
wie diese Schwierigkeit mit Hilfe der analytischen Fortsetzung überwunden
werden kann.
+%
+% Differentialgleichungen mit Singularitäten
+%
\subsubsection{Differentialgleichungen mit Singularitäten}
Mit der Besselschen
Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
@@ -93,6 +99,9 @@ Klasse von Singularitäten beschreiben, aber es ist nicht klar,
welche weiteren Arten von Singularitäten berücksichtigt werden sollten.
Dies soll im Folgenden geklärt werden.
+%
+% Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
+%
\subsubsection{Der Lösungsraum einer Differentialgleichung zweiter Ordnung}
Eine Differentialgleichung $n$-ter Ordnung hat lokal einen $n$-dimensionalen
Vektorraum als Lösungsraum.
@@ -126,6 +135,9 @@ Wenn der Punkt $x_0$ aus dem Kontext klar ist, kann er auch weggelassen
werden: $\mathbb{L}_{x_0}=\mathbb{L}$.
\end{definition}
+%
+% Analytische Fortsetzung auf dem Weg um 0
+%
\subsubsection{Analytische Fortsetzung auf einem Weg um $0$}
Die betrachteten Differentialgleichungen haben holomorphe
Koeffizienten, Lösungen der Differentialgleichung lassen sich
@@ -186,6 +198,9 @@ e^{2\pi i\varrho} z^\varrho
\]
schreiben.
+%
+% Rechenregeln für die analytische Fortsetzung
+%
\subsubsection{Rechenregeln für die analytische Fortsetzung}
Der Operator $\sk$ ist ein Algebrahomomorphismus, d.~h.~für zwei analytische
Funktionen $f$ und $g$ gilt
@@ -215,7 +230,9 @@ vertauscht, dass also
\sk(f^{(n)}).
\]
-
+%
+% Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung
+%
\subsubsection{Analytische Fortsetzung von Lösungen einer Differentialgleichung}
Wir untersuchen jetzt die Wirkung des Operators $\sk$ auf
den Lösungsraum $\mathbb{L}$ einer Differentialgleichung mit
@@ -258,7 +275,9 @@ geeigneten Basis in besonders einfache Form gebracht.
Wir führen diese Diskussion im folgenden nur für eine Differentialgleichung
zweiter Ordnung $n=2$.
-
+%
+% Fall A diagonalisierbar
+%
\subsubsection{Fall $A$ diagonalisierbar: verallgemeinerte Potenzreihen}
In diesem Fall kann man die Lösungsfunktionen $w_1$ und $w_2$ so
wählen, dass die Matrix
@@ -326,6 +345,9 @@ Falls der Operator $\sk$ also diagonalisierbar ist, dann gibt es
zwei linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung in der
Form einer verallgemeinerten Potenzreihe.
+%
+% Fall $A$ nicht diagonalisierbar
+%
\subsubsection{Fall $A$ nicht diagonalisierbar: logarithmische Lösungen}
Falls die Matrix $A$ nicht diagonalisierbar ist, hat sie nur einen
Eigenwert $\lambda$ und kann durch geeignete Wahl einer Basis in
@@ -421,8 +443,158 @@ in die ursprüngliche Differentialgleichung ein, verschwindet der
$\log(z)$-Term und für die verbleibenden Koeffizienten kann die
bekannte Methode des Koeffizientenvergleichs verwendet werden.
+%
+% Bessel-Funktionen zweiter Art
+%
\subsubsection{Bessel-Funktionen zweiter Art
\label{buch:funktionentheorie:subsubsection:bessel2art}}
+Im Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:bessel1steart}
+waren wir nicht in der Lage, für ganzahlige $\alpha$ zwei linear unabhängige
+Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu finden.
+Die vorangegangenen Ausführungen erklären dies: der Ansatz als
+verallgemeinerte Potenzreihe konnte die Singularität nicht wiedergeben.
+Inzwischen wissen wir, dass wir nach einer Lösung mit einer logarithmischen
+Singularität suchen müssen.
+Um dies nachzuprüfen, setzen wir den Ansatz
+\[
+y(x) = \log(x) J_n(x) + z(x)
+\]
+in die Besselsche Differentialgleichung ein.
+Dazu benötigen wir erst die Ableitungen von $y(x)$:
+\begin{align*}
+y'(x)
+&=
+\frac{1}{x} J_n(x) + \log(x)J_n'(x) + z'(x)
+\\
+xy'(x)
+&=
+J_n(x) + x\log(x)J_n'(x) + xz'(x)
+\\
+y''(x)
+&=
+-\frac{1}{x^2} J_n(x)
++\frac2x J_n'(x)
++\log(x) J_n''(x)
++z''(x)
+\\
+x^2y''(x)
+&=
+-J_n(x) + 2xJ'_n(x)+x^2\log(x)J_n''(x) + x^2z''(x).
+\end{align*}
+Die Wirkung des Bessel-Operators auf $y(x)$ ist
+\begin{align*}
+By
+&=
+x^2y''+xy'+x^2y
+\\
+&=
+\log(x) \bigl(
+\underbrace{
+x^2J_n''(x)
++xJ_n'(x)
++x^2J_n(x)
+}_{\displaystyle = n^2J_n(x)}
+\bigr)
+-J_n(x)+2xJ_n'(x)
++J_n(x)
++
+xz'(x)
++
+x^2z''(x)
+\\
+&=
+n^2 \log(x)J_n(x)
++
+2xJ_n(x)
++
+x^2z(x)
++
+xz'(x)
++
+x^2z''(x)
+\end{align*}
+Damit $y(x)$ eine Eigenfunktion zum Eigenwert $n^2$ wird, muss
+dies mit $n^2y(x)$ übereinstimmen, also
+\begin{align*}
+n^2 \log(x)J_n(x)
++
+2xJ_n(x)
++
+x^2z(x)
++
+xz'(x)
++
+x^2z''(x)
+&=
+n^2\log(x)J_n(x) + n^2z(x).
+\intertext{Die logarithmischen Terme heben sich weg und es bleibt}
+x^2z''(x)
++
+xz'(x)
++
+(x^2-n^2)z(x)
+&=
+-2xJ_n(x).
+\end{align*}
+Eine Lösung für $z(x)$ kann mit Hilfe eines Potenzreihenansatzes
+gefunden werden.
+Sie ist aber nur bis auf einen Faktor festgelegt.
+Tatsächlich kann man aber auch eine direkte Definition geben.
+
+\begin{definition}
+Die Bessel-Funktionen zweiter Art der Ordnung $\alpha$ sind die Funktionen
+\begin{equation}
+Y_\alpha(x)
+=
+\frac{J_\alpha(x) \cos \alpha\pi - J_{-\alpha}(x)}{\sin \alpha\pi }.
+\label{buch:funktionentheorie:bessel:2teart}
+\end{equation}
+Für ganzzahliges $\alpha$ verschwindet der Nenner in
+\eqref{buch:funktionentheorie:bessel:2teart},
+daher ist
+\[
+Y_n(x)
+=
+\lim_{\alpha\to n} Y_{\alpha}(x)
+=
+\frac{1}{\pi}\biggl(
+\frac{d}{d\alpha}J_{\alpha}(x)\bigg|_{\alpha=n}
++
+(-1)^n
+\frac{d}{d\alpha}J_{\alpha}(x)\bigg|_{\alpha=-n}
+\biggr).
+\]
+\end{definition}
+Die Funktionen $Y_\alpha(x)$ sind Linearkombinationen der Lösungen
+$J_\alpha(x)$ und $J_{-\alpha}(x)$ und damit automatisch auch Lösungen
+der Besselschen Differentialgleichung.
+Dies gilt auch für den Grenzwert im Falle ganzahliger Ordnung $\alpha$.
+Da $J_{\alpha}(x)$ durch eine Reihenentwicklung definiert ist, kann man
+diese Termweise nach $\alpha$ ableiten und damit auch eine
+Reihendarstellung von $Y_n(x)$ finden.
+Nach einiger Rechnung findet man:
+\begin{align*}
+Y_n(x)
+&=
+\frac{2}{\pi}J_n(x)\log\frac{x}2
+-
+\frac1{\pi}
+\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-k-1)!}{k!}\biggl(\frac{x}2\biggr)^{2k-n}
+\\
+&\qquad\qquad
+-
+\frac1{\pi}
+\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!\,(n+k)!}
+\biggl(
+\frac{\Gamma'(n+k+1)}{\Gamma(n+k+1)}
++
+\frac{\Gamma'(k+1)}{\Gamma(k+1)}
+\biggr)
+\biggl(
+\frac{x}2
+\biggr)^{2k+n}
+\end{align*}
+(siehe auch \cite[p.~200]{buch:specialfunctions}).
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 0818f54..571831a 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -126,3 +126,14 @@
volume = 134,
pages = {267-280}
}
+
+@book{buch:specialfunctions,
+ author = { George E. Andrews and Richard Askey and Ranjan Roy },
+ title = { Special Functions },
+ series = { Encyclopedia of Mathematics and its applications },
+ volume = { 71 },
+ publisher = { Cambridge University Press },
+ ISBN = { 0-521-78988-5 },
+ year = 2004
+}
+