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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex index 1c0861a..ea847bc 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex @@ -233,7 +233,13 @@ B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} berechnet werden. \end{satz} -\subsubsection{Der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +\subsubsection{Nochmals der Wert von $\Gamma(\frac12)$?} +Der Wert von $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ wurde bereits in +\eqref{buch:rekursion:gamma:wert12} +direkt mit Hilfe der Integraldefinition berechnet. +Hier wird eine alternative Berechnungsmöglichkeit mit Hilfe der +Beta-Funktion vorgestellt. + Als Anwendung der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:betagamma} untersuchen wir den Fall $y=1-x$. In diesem Fall wird der Nenner zu $\Gamma(x+1-x)=\Gamma(1)=1$ und damit diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex index 1a2d155..737cf7f 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/gamma.tex @@ -494,6 +494,28 @@ die Werte der Fakultät annimmt. \label{buch:rekursion:fig:gamma}} \end{figure} +\subsubsection{Der Wert $\Gamma(\frac12)$} +Die Integraldarstellung kann dazu verwendet werden, $\Gamma(\frac12)$ +zu berechnen. +Dazu verwendet man die Substition $t=s^2$ in der Integraldefinition +der Gamma-Funktion und berechnen +\begin{align} +\Gamma({\textstyle\frac12}) +&= +\int_0^\infty t^{-\frac12} e^{-t}\,dt += +\int_0^\infty s^{-1} e^{-s^2}\cdot 2s\,ds += +2\int_0^\infty e^{-s^2}\,ds += +\int_{-\infty}^\infty e^{-s^2}\,ds += +\sqrt{\pi}. +\label{buch:rekursion:gamma:betagamma} +\end{align} +Der Integrand im letzten Integral ist die Wahrscheinlichkeitsdichte +einer Normalverteilung, deren Integral wohlbekannt ist. + \subsubsection{Alternative Lösungen} Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt. @@ -515,8 +537,28 @@ in grün. Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen gemeinsam. +In Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:subsection:satz-von-carlson} +wir mit Mitteln der komplexen Funktionentheorie gezeigt, dass eine +Funktion, die für ganzzahlige Argument mit $\Gamma(x)$ zusammenfällt +und sich im Rest der rechten Halbebene nur durch eine beschränkte +Funktion von $\Gamma(x)$ unterscheidet, mit $\Gamma(x)$ +identisch sein muss. +Von Wielandt stammt das folgende, noch etwas speziellere Resultat, +welches hier nicht bewiesen wird. + +\begin{satz}[Wielandt] +Ist $f(z)$ eine für $\operatorname{Re}z>0$ definiert Funktion mit +den folgenden drei Eigenschaften +\begin{enumerate} +\item $f(1)=1$ +\item $f(z+1)=zf(z)$ für $\operatorname{Re}z>0$ +\item $f(z)$ ist beschränkt im Streifen $1\le \operatorname{Re}z< 2$ +\end{enumerate} +Dann ist $ f(z) = \Gamma(z) $. +\end{satz} - +% XXX Gamma in the interval (1,2) +%Man beachte, dass \subsubsection{Laplace-Transformierte der Potenzfunktion} Die Integraldarstellung der Gamma-Funktion erlaubt jetzt auch, die @@ -548,6 +590,7 @@ Durch die Substitution $st = u$ oder $t=\frac{u}{s}$ wird daraus \frac{1}{s^\alpha}\int_0^\infty u^{\alpha} e^{-u}\,du = \frac{1}{s^\alpha} \Gamma(\alpha+1). +\qedhere \] \end{proof} @@ -599,7 +642,7 @@ Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck \[ \Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z). \] -Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. +Die Gamma-Funktion hat daher an der Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung. \subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$} Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$. diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc index a702182..813865f 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc @@ -11,6 +11,7 @@ CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES) \ chapters/080-funktionentheorie/fortsetzung.tex \ chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex \ chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex \ + chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex \ chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/1.tex \ chapters/080-funktionentheorie/uebungsaufgaben/2.tex \ chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex index aab0d6b..e02fb3e 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/anwendungen.tex @@ -7,3 +7,4 @@ \label{buch:funktionentheorie:section:anwendungen}} \input{chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex} +\input{chapters/080-funktionentheorie/carlson.tex} diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile index 1ddd585..55be1f5 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/Makefile @@ -4,7 +4,8 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # all: nonanalytic.pdf integralanalytisch.pdf laurent.pdf \ - fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf gammapfad.pdf + fortsetzreziprok.pdf forts.pdf logforts.pdf gammapfad.pdf \ + carlsonpath.pdf nonanalytic.pdf: nonanalytic.tex pdflatex nonanalytic.tex @@ -27,3 +28,6 @@ logforts.pdf: logforts.tex gammapfad.pdf: gammapfad.tex pdflatex gammapfad.tex +carlsonpath.pdf: carlsonpath.tex + pdflatex carlsonpath.tex + diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..6bc2671 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.pdf diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.tex new file mode 100644 index 0000000..b8cc551 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/carlsonpath.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +% +% carlsonpath.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\usepackage{csvsimple} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\begin{document} +\def\skala{1} +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + +\def\xh{0.001} +\def\r{4.6} +\pgfmathparse{asin(\xh/\r)} +\xdef\w{\pgfmathresult} + +\draw[->] (-1.1,0) -- (7.4,0) coordinate[label=$\operatorname{Re}z$]; +\draw[->] (0,-5.2) -- (0,5.4) coordinate[label={right:$\operatorname{Im}z$}]; + +\draw[->,color=red,line width=0.5pt] (0,0) -- (50:\r); +\node at (50:{0.7*\r}) [left] {$R$}; + +\node[color=red] at (-30:\r) [below right] {$C_1$}; + +\draw (-0.1,\r) -- (0.1,\r); +\draw (-0.1,-\r) -- (0.1,-\r); +\node at (-0.1,-\r) [left] {$-R$}; +\node at (-0.1,\r) [left] {$R$}; + +\draw[color=red,line width=1.4pt] + ({-90+\w}:\r) arc ({-90+\w}:{90-\w}:\r) + -- + cycle; +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (-30:\r) -- (-31:\r); +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (30:\r) -- (29:\r); +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (\xh,{0.5*\r}) -- (\xh,{0.5*\r+0.1}); +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (\xh,{-0.5*\r}) -- (\xh,{-0.5*\r+0.1}); + +\def\a{2.6} +\def\xstep{0.7} + +\foreach \k in {1,...,10}{ + \fill[color=blue] ({\k*\xstep},0) circle[radius=0.08]; + \node at ({\k*\xstep},0) [below] {$\k$}; +} + +\fill[color=darkgreen] (\a,0) circle[radius=0.08]; +\node[color=darkgreen] at (\a,0) [above] {$a$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf Binary files differindex 13a6fc1..2a15007 100644 --- a/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf |