aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to 'buch')
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex60
1 files changed, 59 insertions, 1 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index b25fc89..cc88f6a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -130,7 +130,65 @@ Lösung
\]
führt.
-Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen.
+Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur
+der Gleichung
+\[
+ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+ =
+ 0
+\]
+wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also
+von der Form
+\[
+ X(x)
+ =
+ A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
+\]
+
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref)
+enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also
+\[
+ X^{\prime}(x)
+ =
+ A \alpha \cos \left( \alpha x \right) -
+ B \beta \sin \left( \beta x \right)
+\]
+und
+\[
+ X^{\prime \prime}(x)
+ =
+ -A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) -
+ B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right).
+\]
+
+Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
+\[
+ -A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) -
+ \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
+ =
+ 0
+\]
+und durch umformen somit
+\[
+ \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x)
+ =
+ A\alpha^{2}\sin(\alpha x) + B\beta^{2}\cos(\beta x).
+\]
+
+Durch Koeffizientenvergleich von
+\[
+ \mu A\sin(\alpha x)
+ =
+ A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
+\]
+\[
+ \mu B\cos(\beta x)
+ =
+ B\beta^{2}\cos(\beta x)
+\]
+ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = \alpha^{2} = \beta^{2} $ gelten muss für
+$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch
+$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
% TODO: Rechenweg
TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: