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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc | 14 | ||||
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| -rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 107 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc index e2039ce..7ffdad2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc +++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc @@ -3,12 +3,12 @@ # # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # -dependencies-sturmliouville = \ +dependencies-sturmliouville = \ papers/sturmliouville/packages.tex \ - papers/sturmliouville/main.tex \ + papers/sturmliouville/main.tex \ papers/sturmliouville/references.bib \ - papers/sturmliouville/teil0.tex \ - papers/sturmliouville/teil1.tex \ - papers/sturmliouville/teil2.tex \ - papers/sturmliouville/teil3.tex - + papers/sturmliouville/einleitung.tex \ + papers/sturmliouville/eigenschaften.tex \ + papers/sturmliouville/beispiele.tex \ + papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex \ + papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 4c14630..fda8be6 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -11,9 +11,9 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel -\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, -noch etwas genauer angeschaut. +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet +wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden \[ L_0 @@ -28,9 +28,8 @@ zusammen mit den Randbedingungen \end{aligned} \] verwendet. -Wie im Kapitel -\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, -resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ +Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ selbsadjungiert zu machen. Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. @@ -65,15 +64,15 @@ Orthonormalsystem existiert. \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} -Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine +Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. -Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen +Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem -Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist. +Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. -Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt -\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen -die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen +Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b466d15..b22d5f5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -15,7 +15,7 @@ Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} \end{equation} @@ -36,7 +36,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. Es folgen nun \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) = u(t,l) @@ -62,7 +62,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ verschwinden. Somit folgen \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) = \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) @@ -85,8 +85,9 @@ Dazu wird = T(t)X(x) \] -in die partielle Differenzialgleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt. +in die partielle +Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} +eingesetzt. Daraus ergibt sich \[ T^{\prime}(t)X(x) @@ -108,13 +109,13 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-separated-x} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) = 0 \end{equation} \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-separated-t} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) = 0 @@ -135,7 +136,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$. Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\ k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0 \end{aligned} @@ -143,7 +144,7 @@ Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen erfüllt sein und es muss ausserdem \begin{equation} \begin{aligned} - \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints} |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\ |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\ \end{aligned} @@ -153,13 +154,15 @@ gelten. Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst $p(x)$ benötigt. -Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der -Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu +Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +mit der +Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu $p(x) = 1$ führt. -Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in -\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man +Werden nun $p(x)$ und die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält +man \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -167,10 +170,10 @@ Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen \end{aligned} \] Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein. -Zusätzlich müssen aber die Bedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und -da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$ -gewählt werden. +Zusätzlich müssen aber die +Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints} +erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ +und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und @@ -199,9 +202,9 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right). \] -Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden -sind. +Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen +Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also \[ X^{\prime}(x) @@ -217,7 +220,8 @@ und \beta^{2} B \sin \left( \beta x \right). \] -Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies +Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} +ergibt dies \[ -\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) - \mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right) @@ -247,18 +251,19 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü $ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen. -Dazu werden nochmals die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. +Dazu werden nochmals die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +benötigt. Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. -Es werden nun die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab -mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt. +Es werden nun die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} +für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. Dies fürht zu \[ @@ -303,9 +308,9 @@ Verletzung der Randbedingungen. Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzt man nun die Randbedingungen -\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$ -ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +Setzt man nun die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = @@ -324,7 +329,7 @@ folgt nun = 0. \] -Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ @@ -342,7 +347,7 @@ und somit Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur wie auch mit isolierten Enden \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \mu = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. @@ -368,12 +373,12 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] -Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere +Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere Bedingungen benötigt. Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. Es gilt also nun die Gleichung \begin{equation} - \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} + \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} u(0, x) = a_0 @@ -388,7 +393,7 @@ gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen. Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in -\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des +\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht. @@ -396,7 +401,7 @@ Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$ gebildet: \begin{equation} - \label{eq:slp-dot-product-cosine} + \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} \langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle = \langle a_0 @@ -409,13 +414,13 @@ gebildet: Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. -In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze -Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $. +In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze +Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem -neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und -$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $ +neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und +$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \[ \begin{aligned} @@ -451,7 +456,8 @@ skalliert wurde, also gilt nun \end{aligned} \] -Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet: +Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} +berechnet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -545,11 +551,11 @@ gilt. Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten -zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der +zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der konstanten Funktion $1$. -Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten -der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das -Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet: +Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten +der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das +Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx @@ -606,8 +612,8 @@ Es bleibt also noch % \subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} -Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation -\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet. +Zuletzt wird die zweite Gleichung der +Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu @@ -623,8 +629,7 @@ Lösung = e^{-\kappa \mu t} \] -führt. -Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution} +führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \[ T(t) = |