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diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index e2062d2..61549e0 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -4,15 +4,14 @@ % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % \section{Herleitung% -% \section{Einleitung -% \section{Definition -\label{laguerre:section:definition}} + % \section{Einleitung + % \section{Definition + \label{laguerre:section:definition}} \rhead{Definition}% In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten. -Zudem möchten wir die Lösung auch auf -die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten. -Im Anschluss möchten wir dann noch die Orthogonalität dieser Polynome beweisen. +Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten. +Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden. \subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung} Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch @@ -32,14 +31,14 @@ zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. -{\subsection{Potenzreihenansatz} +\subsection{Potenzreihenansatz% \label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}} Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. Wir stellen die Vermutung auf, dass die Lösungen orthogonale Polynome sind. -Die Orthogonalität der Lösung werden wir im +Die Orthogonalität der Lösung werden wir im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen. Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz. @@ -49,7 +48,7 @@ Der Potenzreihenansatz ist gegeben als % erscheint dieser Ansatz sinnvoll. \begin{align*} y(x) -& = + & = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k % \\ . @@ -57,13 +56,13 @@ y(x) Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir \begin{align*} y'(x) -& = + & = \sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k \\ y''(x) -& = + & = \sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2} = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} @@ -71,7 +70,7 @@ y''(x) \end{align*} \subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung} -Setzt man nun den Potenzreihenansatz in +Setzt man nun den Potenzreihenansatz in \eqref{laguerre:dgl} %die Differentialgleichung ein, @@ -106,7 +105,8 @@ denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$. Aus %der Rekursionsbeziehung \eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich, dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann. -Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten $a_1, a_2, a_3$ +Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten +% $a_1, a_2, a_3$ \begin{align*} a_1 = @@ -136,8 +136,10 @@ k & >n: & a_k & = -0. +0 +. \end{align*} +Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen. Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome \begin{align} L_n(x) @@ -174,11 +176,11 @@ L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k . \end{align*} Eine Herleitung dazu lässt sich im -Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} +Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing} im ersten Teil des Buches finden. -Nach einigen aufwändigen Rechnungen, +Nach einigen aufwändigen Rechnungen, % die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, -die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, +die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden, erhalten wir \begin{align*} \Xi_n diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 55d2276..6ba9135 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -90,6 +90,7 @@ S & = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx} \label{laguerre:sl-lag} +, \end{align} lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$. Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung @@ -133,7 +134,7 @@ deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den Definitionsbereich $(0, \infty)$. \subsubsection{Randbedingungen} -Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen, +Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen \begin{align} k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0) & = diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex index e40d8ca..0cf17b9 100644 --- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -25,7 +25,7 @@ markant verbessern können. % wenden wir dann die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion und % erweitern die Methode -{\subsection{Gamma-Funktion} +\subsection{Gamma-Funktion% \label{laguerre:subsection:gamma}} Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe Zahlenmenge. @@ -44,11 +44,11 @@ Integral der Form . \end{align} Der Term $e^{-x}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen -genau die Bedingungen der Laguerre-Integration. +genau die Bedingungen der Gauss-Laguerre-Integration. % Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und % der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren. -Weiter zu erwähnen ist, dass für die assoziierte Laguerre-Integration die -Gewichtsfunktion $x^\nu e^{-x}$ exakt dem Integranden +Weiter zu erwähnen ist, dass für die assoziierte Gauss-Laguerre-Integration die +Gewichtsfunktion $x^\nu e^{-x}$ exakt dem Integranden für $\nu = z - 1$ entspricht. \subsubsection{Funktionalgleichung} @@ -84,10 +84,11 @@ her. Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt. -{\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur} +\subsection{Berechnung mittels +Gauss-Laguerre-Quadratur% \label{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}} In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen, -dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur +dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur \begin{align*} \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx = @@ -169,16 +170,6 @@ Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte, die zweite Variante weiterzuverfolgen. \subsubsection{Direkter Ansatz} -Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus -\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion -\eqref{laguerre:gamma} an, -ergibt sich -\begin{align} -\Gamma(z) -\approx -\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i. -\label{laguerre:naive_lag} -\end{align} % \begin{figure} \centering @@ -186,10 +177,22 @@ ergibt sich \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf} %\vspace{-12pt} \caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes -für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der +Laguerre-Polynome}% \label{laguerre:fig:rel_error_simple} \end{figure} -% +%. +Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus +\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion +\eqref{laguerre:gamma} an, +ergibt sich +\begin{align} +\Gamma(z) +\approx +\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i +\label{laguerre:naive_lag} +. +\end{align} Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden, möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen. Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung @@ -220,8 +223,8 @@ und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert. Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$ wäre eine Fehlerabschätzung plausibel. -Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion -an. +Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur +auf die Gamma-Funktion an. Dazu benötigen wir die Gewichte nach \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$. @@ -229,18 +232,17 @@ Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}. Man kann sehen, wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$. -Laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch ist das zu erwarten, +Laut der Theorie der Gauss-Quadratur ist das auch zu erwarten, da die Approximation via Gauss-Quadratur -exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ -und hinzukommt, -dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten. +exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ und +der Integrand $x^{z-1}$ wird für $z \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ +zu einem Polynom . +% Hinzukommt, dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten. Es ist ersichtlich, dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Intervall gibt, in dem der relative Fehler minimal ist. Links steigt der relative Fehler besonders stark an, während er auf der rechten Seite zu konvergieren scheint. -Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen, -könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden. \begin{figure} \centering @@ -248,10 +250,12 @@ könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden. \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf} %\vspace{-12pt} \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte -für verschiedene reele Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \label{laguerre:fig:rel_error_mirror} \end{figure} +Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen, +könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden. Spiegelt man nun $z$ mit negativem Realteil mittels der Reflektionsformel, ergibt sich ein stabilerer Fehler in der linken Hälfte, wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_mirror}. @@ -269,9 +273,10 @@ das Problem in den Griff zu bekommen. \subsubsection{Analyse des Integranden} Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben, scheint der Integrand problematisch. -Darum möchten wir jetzt den Integranden analysieren, -damit wir ihn besser verstehen und -dadurch geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln können. +Darum möchten wir ihn jetzt analysieren, +damit wir ihn besser verstehen können. +Dies sollte es uns ermöglichen, +anschliessend geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln. % Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen, % wieso der Integrand so problematisch ist. @@ -311,16 +316,17 @@ dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten. In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} fügen wir die Dämpfung der Gewichtsfunktion $w(x)$ der Gauss-Laguerre-Quadratur wieder hinzu -und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z-1} e^{-x}$ +und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z} e^{-x}$ der Gamma-Funktion. Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten, wenn $x \rightarrow 0$. -Um $1$ wächst der Term $x^z$ schneller als die Dämpfung $e^{-x}$, +Um $x = 1$ wächst der Term $x^z$ für positive $z$ +schneller als die Dämpfung $e^{-x}$, aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$. Das führt zu glockenförmigen Kurven, die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen. Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch. -Kleine positive $z$ scheinen nun also auch zulässig zu sein. +Kleine positive $z$ scheinen nun aber auch zulässig zu sein. Damit formulieren wir die Vermutung, dass $a(n)$, welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert, @@ -416,7 +422,8 @@ können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden. Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch für $n = 1,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$, da $z$ sowieso mit den Term $m$ verschoben wird, -reicht die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren. +reicht es, +die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren. In Abbildung~\ref{laguerre:fig:targets} sind die empirisch bestimmten $m^*$ abhängig von $z$ und $n$ dargestellt. In $n$-Richtung lässt sich eine klare lineare Abhängigkeit erkennen und @@ -481,7 +488,7 @@ dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt. \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf} %\vspace{-12pt} \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm -für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$. +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$. Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$. $m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.} \label{laguerre:fig:rel_error_shifted} @@ -520,7 +527,7 @@ Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}. \includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf} %\vspace{-12pt} \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm -für verschiedene reele Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$} +für verschiedene reelle Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$} \label{laguerre:fig:rel_error_range} \end{figure} @@ -569,14 +576,14 @@ Diese Methode wurde zum Beispiel in {\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und {\em musl} implementiert. Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise eine Genauigkeit von $13$ -korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente. +korrekten, signifikanten Stellen für reelle Argumente. Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen -für reele Argumente. +für reelle Argumente. \subsubsection{Fazit} % Das Resultat ist etwas enttäuschend, -Die Genauigkeit der vorgestellten Methode schneidet somit schlechter ab, +Die Genauigkeit der vorgestellten Methode schneidet somit schlechter ab als die Lanczos-Methode. Dieser Erkenntnis kommt nicht ganz unerwartet, % aber nicht unerwartet, @@ -595,6 +602,6 @@ nur $n$ Funktionsevaluationen und wenige zusätzliche Multiplikationen und Additionen. Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung und/oder knappen Energieressourcen finden. -Die vorgestellte Methode ist ein weiteres Beispiel dafür, -wie Verfahren durch die Kenntnis der Eigenschaften einer Funktion +Die vorgestellte Methode ist ein weiteres Beispiel dafür, +wie Verfahren durch die Kenntnis der Eigenschaften einer Funktion verbessert werden können.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex index 91c1475..133d686 100644 --- a/buch/papers/laguerre/main.tex +++ b/buch/papers/laguerre/main.tex @@ -8,24 +8,27 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Patrik Müller} -{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome, +{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome, benannt nach Edmond Laguerre (1834 -- 1886), -sind Lösungen der ebenfalls nach Laguerre benannten Differentialgleichung. -Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden -für das Integral +sind Lösungen der ebenfalls nach %Laguerre +ihm +benannten Differentialgleichung. +Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden +für das Integral % $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $ \begin{align*} \int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx \end{align*} suchte. -Darum möchten wir uns in diesem Kapitel, +Darum möchten wir uns in diesem Kapitel, ganz im Sinne des Entdeckers, -den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit -exponentiell-abfallenden Funktionen widmen. +den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit +exponentiell abfallenden Funktionen widmen. Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und -der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden. +der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu +finden. -Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil +Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf. \input{papers/laguerre/definition} diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex index 811fbfa..b5e1131 100644 --- a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -51,7 +51,7 @@ R_n(\xi) % \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} % \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} \includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} -\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reele Werte +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} \end{figure} diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 841bc20..0e32012 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -16,7 +16,7 @@ verwendet. Stellt man also sicher, dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern. -Es wird ein Polynom verwendet, +Es wird ein Interpolationspolynom verwendet, welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form @@ -66,10 +66,11 @@ gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. % $L_n$ ausweiten. % Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich % der Gewichtsfunktion $e^{-x}$. -Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu berechen, +Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu +berechen, formt man das Integral wie folgt um: \begin{align*} -\int_0^\infty g(x) \, dx +\int_0^\infty g(x) \, dx = \int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx \end{align*} @@ -77,7 +78,7 @@ Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom wie bei der Gauss-Quadratur. % Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt % umformulieren: -Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also +Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu \begin{align} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx @@ -89,8 +90,8 @@ für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu \subsubsection{Stützstellen und Gewichte} Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen -des verwendeten Polynoms genommen werden. -Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und +des Approximationspolynoms genommen werden. +Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden. Dabei sind \begin{align*} @@ -104,7 +105,7 @@ l_i(x_j) \end{cases} % . \end{align*} -die Lagrangschen Interpolationspolynome. +die Lagrangeschen Interpolationspolynome. Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit \begin{align*} A_i @@ -122,7 +123,9 @@ des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und dem Normalisierungsfaktor. Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und -nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten aus, +nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten +(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom}) +aus, damit erhalten wir \begin{align*} A_i |