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diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex index ae7127f..581d452 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex @@ -1,17 +1,17 @@ \section{Einleitung} -Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik. +Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elemente in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik. Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter. Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}). -Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence -Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben. +Durch die Linearität werden beim Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. +Diese Eigenschaft macht es sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben. Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen. Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit. -Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen. +Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplexkonjugierte Nullstellen. -Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen. +Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt, alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen. Der Rest soll dabei unverändert passieren. -Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden. +Aus dem Tiefpassfilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden. Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort \begin{equation} H(\Omega) = @@ -32,7 +32,7 @@ Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht. Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen. Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt. Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen: -\begin{equation} +\begin{equation} \label{ellfilter:eq:quadratic_transfer} | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}, \end{equation} wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert. @@ -40,8 +40,9 @@ Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbeben $w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben. Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$. $N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. -Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich. +Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich. Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung. + Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$. Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. \begin{figure} @@ -62,12 +63,15 @@ Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Ti \end{align} Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft. -Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. -Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter. +Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. +In vielen Anwendung sind Filter mit einem steilen Übergang gewünscht. +Da es technisch nicht möglich ist, mit einer rationalen Funktion mit begrenzter Anzahl Pole eine steile Flanke zu erreichen, während der Durchlass- und Sperrbereich flach und monoton sind, gibt es Filtertypen, die absichtlich Welligkeiten in der Frequenzantwort aufweisen. +Besonders effizient sind Filter mit Equiripple-Verhalten, wessen Welligkeit optimal definiert wird für eine maximal steile Flanke, während die maximale Abweichung zum idealen Filter begrenzt ist. +Die Welligkeit beansprucht dabei einen begrenzen Verstärkungsintervall und nützt diesen Vollständig aus, indem sie periodisch die Grenzen des Intervalls berührt. +Das Tschebyscheff-1 Filter, zum Beispiel, hat Equiripple-Verhalten im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. +Beim Tschebyscheff-2 Filter ist es umgekehrt. Dieses Paper betrachtet die Theorie hinter dem elliptischen Filter, dem wohl exotischsten dieser Auswahl. -Es weist sich aus durch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation. +Es hat Equiripple-Verhalten im Durchlass und Sperrbereich und hat dadurch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation. Des weiteren kann es als Verallgemeinerung des Tschebyscheff-Filters angesehen werden. - -% wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof? diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 67bcca0..81821c1 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -1,13 +1,16 @@ -\section{Elliptische rationale Funktionen} +\section{Rationale elliptische Funktionen} -Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} +Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis} \begin{align} R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) \end{align} Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. -Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. +Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben. +Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird. +Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben. +Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht. Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome. @@ -24,12 +27,12 @@ Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktio \label{ellfilter:fig:cd} \end{figure} Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen. -Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann. +Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex} \caption{ - $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. + $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der rationalen elliptischen Funktionen. Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt. } @@ -37,13 +40,10 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, \end{figure} Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen. Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen. -Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden. +Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden. Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden. -% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. -Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. -Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. -Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. +% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf} @@ -51,6 +51,10 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funk \label{ellfilter:fig:elliptic_freq} \end{figure} +Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. +Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. +Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. + \subsection{Gradgleichung} Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden. @@ -75,26 +79,54 @@ Algebraisch kann so die Gradgleichung N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1} \end{equation} aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch -\begin{equation} %TODO check +\begin{equation}\label{ellfilter:eq:degeqsol} k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg), \quad \text{wobei} \quad N = 2L+r. \end{equation} Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut. -% \begin{figure} -% \centering -% \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz} -% \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.} -% \end{figure} +\subsection{Berechnung der rationalen Funktion} -\subsection{Schlussfolgerung} +$k_1$ muss jedoch gar nicht berechnet werden, um $R_N$ in der Form einer rationale Funktion erhalten. +Die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ können frei gewählt werden. +% $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden. +Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich. +Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit. +Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:pn}. +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex} + \caption{ + Pole und Nullstellen in der $z = \cd^{-1}(w, k)$-Ebene für die Rücktransformation zur einer rationalen Funktion. + } + \label{ellfilter:fig:pn} +\end{figure} +Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind. +Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet: +\begin{align} + n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\ + p_i(k) &= n_i + jK^\prime. +\end{align} +Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der rationalen Funktion +\begin{equation} + R_N(w, k) = r_0 \prod_{i=1}^N \frac{w - \cd \big(n_i(k), k \big)}{w - \cd \big(p_i(k), k \big)}, +\end{equation} +wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$. -Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. -Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. -Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. -Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. +\section{Elliptisches Filter} -% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. +Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$. +Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei +\begin{equation} + |H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*), +\end{equation} +wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet. +Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen. +Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen. +% \subsection{Schlussfolgerung} +% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. +% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. +% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex index 567bbcc..841cd7d 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex @@ -2,14 +2,16 @@ Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht. Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen. -Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte. -Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. +Es ist daher naheliegend, dass der Kosinus des Tschebyscheff-Filters gegen ein elliptisches Pendant ausgetauscht werden könnte. +Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es hier ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht. + +\subsection{Grundlegende Eigenschaften} Die Jacobi elliptischen Funktionen werden ausführlich im Kapitel \ref{buch:elliptisch:section:jacobi} behandelt. Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen. Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$. -Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter. -Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$. +Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei Parameter. +Den elliptischen Modul $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$. Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das. Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbogenlänge nicht linear zum Winkel verläuft. Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden. @@ -30,7 +32,7 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art \end{equation} mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden. -Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden. +Dabei wird das vollständige und unvollständige elliptische integral unterschieden. Beim vollständigen Integral \begin{equation} K(k) @@ -48,7 +50,7 @@ wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefe Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant. Alle elliptischen Funktionen sind somit $4K$-periodisch. -Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$. +Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere elliptische Basisfunktionen $\cn$ und $\dn$. Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen. Insgesamt sind es die zwölf Funktionen \begin{equation*} @@ -66,7 +68,7 @@ Insgesamt sind es die zwölf Funktionen \dc. \end{equation*} -Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des kompletten elliptischen Integrals erster Art +Die Jacobischen elliptischen Funktionen können mit der inversen Funktion des vollständigen elliptischen Integrals erster Art \begin{equation} \phi = F^{-1}(z, k) \end{equation} @@ -76,7 +78,7 @@ definiert werden. Dabei ist zu beachten dass nur das $z$ Argument der Funktion i \Leftrightarrow \phi = F^{-1}(z, k). \end{equation} -Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral dargestellt werden: +Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem elliptischen Integral dargestellt werden: \begin{equation} \sin(\phi) = @@ -115,6 +117,8 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral % \phi = \sin^{-1}(w) % \end{equation} +\subsection{Die Funktion $\sn^{-1}$} + Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären. Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion. Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral @@ -153,7 +157,7 @@ Dazu betrachten wir wieder den Integranden } }. \end{equation} -Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert. +Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die komplexen Zahlen wandert. Wenn man das Gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. @@ -169,7 +173,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen } \label{ellfilter:fig:sn} \end{figure} -In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist: +In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist: \begin{equation} K^\prime(k) = diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf index 32485c1..a8d06d1 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf @@ -51,16 +51,16 @@ \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetstrokeopacity{0.000000}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.850000in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.850000in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{1.798407in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{2.731117in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{2.731117in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}% \pgfpathclose% \pgfusepath{fill}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% -\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}{\pgfqpoint{3.981446in}{0.932710in}}% \pgfusepath{clip}% \pgfsetbuttcap% \pgfsetmiterjoin% @@ -72,16 +72,16 @@ \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetstrokeopacity{0.200000}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{-108.151374in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{-108.151374in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.187964in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{-108.151374in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{-91.099555in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720735in}{-91.099555in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720735in}{2.171491in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{2.171491in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.730012in}{-91.099555in}}% \pgfpathclose% \pgfusepath{fill}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% -\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}% +\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.730012in}{1.798407in}}{\pgfqpoint{3.981446in}{0.932710in}}% \pgfusepath{clip}% \pgfsetbuttcap% \pgfsetmiterjoin% @@ -93,16 +93,16 @@ \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetstrokeopacity{0.200000}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}% 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+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.711458in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{1.481479in}}% \pgfusepath{stroke}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% @@ -1504,8 +1327,8 @@ \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{0.548769in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{0.548769in}}% \pgfusepath{stroke}% \end{pgfscope}% \begin{pgfscope}% @@ -1515,8 +1338,8 @@ \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}% \pgfsetstrokecolor{currentstroke}% \pgfsetdash{}{0pt}% -\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}% -\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}% +\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.730012in}{1.481479in}}% +\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.711458in}{1.481479in}}% \pgfusepath{stroke}% \end{pgfscope}% \end{pgfpicture}% diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py index 20a7428..3d9065d 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py @@ -29,6 +29,9 @@ def ellip_filter(N, mode=-1): fs=None ) + print("poles", a) + print("zeros", b) + if mode == 0: w = np.linspace(0*omega_c,omega_c, 2000) elif mode == 1: @@ -80,12 +83,12 @@ axs[0].add_patch(Rectangle( )) zeros = [0,0.87,0.995] -poles = [1.01,1.155] +poles = [1.01,1.155, 2.05] import matplotlib.transforms axs[0].plot( # mark errors as vertical bars zeros, - np.zeros_like(zeros), + np.zeros_like(zeros)-0.075, "o", mfc='none', color='black', @@ -93,10 +96,11 @@ axs[0].plot( # mark errors as vertical bars axs[0].transData, axs[0].transAxes, ), + clip_on=False, ) axs[0].plot( # mark errors as vertical bars poles, - np.ones_like(poles), + np.ones_like(poles)+0.075, "x", mfc='none', color='black', @@ -104,6 +108,7 @@ axs[0].plot( # mark errors as vertical bars axs[0].transData, axs[0].transAxes, ), + clip_on=False, ) for mode, c in enumerate(["green", "orange", "red"]): @@ -135,17 +140,19 @@ axs[1].add_patch(Rectangle( axs[0].set_xlim([0,2]) axs[0].set_ylim([1e-4,1e6]) +axs[0].tick_params(bottom = False) axs[0].grid() -axs[0].set_ylabel("$F^2_N(w)$") +axs[0].set_ylabel("$|F_N(w)|^2$") axs[1].grid() axs[1].set_ylim([0,1]) axs[1].set_ylabel("$|H(w)|$") +axs[1].set_xlabel("$w$") plt.tight_layout() plt.savefig("elliptic.pgf") plt.show() -print("zeros", a) -print("poles", b) +print("poles", a) +print("zeros", b) diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic3.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic3.py new file mode 100644 index 0000000..10accbb --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic3.py @@ -0,0 +1,101 @@ +# %% + +import matplotlib.pyplot as plt +import scipy.signal +import numpy as np +import matplotlib +from matplotlib.patches import Rectangle +import scipy.special +import scipyx as spx + +# import plot_params + +def last_color(): + return plt.gca().lines[-1].get_color() + +# define elliptic functions + +def ell_int(k): + """ Calculate K(k) """ + m = k**2 + return scipy.special.ellipk(m) + +def sn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[0] + +def cn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[1] + +def dn(z, k): + return spx.ellipj(z, k**2)[2] + +def cd(z, k): + sn, cn, dn, ph = spx.ellipj(z, k**2) + return cn / dn + +N = 6 +L = (N//2) * 2 +r = N - L + +k = 0.9143 + +i = np.arange(1, L+1) +ui = (2*i - 1) / N +k1 = k**N * np.prod(sn(ui*ell_int(k), k)**4) +k1 = 0.0165 +k1 = 0.0058 + + +kp = np.sqrt(1-k**2) +k1p = np.sqrt(1-k1**2) + +K = ell_int(k) +Kp = ell_int(kp) +K1 = ell_int(k1) +K1p = ell_int(k1p) + +# assert np.allclose(Kp*K1*N/K, K1p, rtol=0.001) + +zeros = K/N * (np.arange(N)*2 + 1) +poles = zeros + (1j * Kp) +# if len(poles) % 2 == 0: +# poles = np.delete(poles, len(poles)//2) + + +plt.plot(np.real(zeros), np.imag(zeros), "o") +plt.plot(np.real(poles), np.imag(poles), "x") +# plt.plot([0,K1], [0,K1p]) +# plt.plot([0,K], [0,Kp]) +plt.show() + +zeros = cd(zeros, k) +poles = cd(poles, k) + +plt.plot(np.real(zeros), np.imag(zeros), "o") +plt.plot(np.real(poles), np.imag(poles), "x") +plt.ylim([-0.1,0.1]) +plt.xlim([-2.5,2.5]) +plt.show() + +w = np.linspace(0,2, 2000) + +def make_RN(w): + y = np.prod(w[:, None] - zeros[None], axis=-1) / np.prod(w[:, None] - poles[None], axis=-1) + y /= np.prod(1 - zeros) / np.prod(1 - poles) + return y + + +RN = make_RN(w) + +plt.semilogy(w, np.abs(RN)) +plt.ylim([0.1,1000]) + +plt.plot(w, np.ones_like(w) / k1) + +plt.show() + +H = 1 / (1 + RN**2) + +plt.semilogy(w, np.abs(H)) +plt.ylim([0.00001,1]) +plt.show() diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex index b11c25d..538ac35 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} @@ -22,6 +22,19 @@ \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2); + \foreach \i in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm] + \draw[->, thick, darkgreen!50] (-1, 0) -- (0,0); + \draw[->, thick, orange!50] (0, 0) -- (0,1.5); + \draw[->, thick, orange!50] (0, 0) -- (0,-1.5); + \draw[->, thick, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (1,0); + \draw[->, thick, blue!50] (2,1.5) -- (2, 0); + \draw[->, thick, blue!50] (2,-1.5) -- (2, 0); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (3,0); + \end{scope} + } + % \pause \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); % \pause @@ -34,16 +47,6 @@ \foreach \i in {-2,...,1} { \begin{scope}[xshift=\i*4cm] - \begin{scope}[] - \draw[->, darkgreen] (-1, 0) -- (0,0); - \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,1.5); - \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,-1.5); - \draw[->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); - \draw[->, cyan] (2, 0) -- (1,0); - \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0); - \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0); - \draw[->, cyan] (2, 0) -- (3,0); - \end{scope} \node[zero] at (1,0) {}; \node[zero] at (3,0) {}; \end{scope} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex index 2cec75f..d0e0430 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex index 0cf2417..ffe3b9c 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] @@ -9,63 +9,59 @@ \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; - \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; - \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; - - - \begin{scope} - - \begin{scope}[xshift=0cm] - - \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); - - \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); - - \foreach \i in {-2,...,1} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \draw[->, orange!50] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[->, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0); - \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (1,0); - \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 0); - \draw[->, purple!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[->, red!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); - \draw[->, orange!50] (0,1) -- (0,0.5); - \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 1); - \draw[->, purple!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[->, red!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); - \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (3,0); - \draw[->, darkgreen!50] (3, 0) -- (4,0); - \end{scope} - } + \begin{scope}[xshift=0cm] + + \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); + + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \draw[->, thick, orange!50] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[->, thick, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (1,0); + \draw[->, thick, blue!50] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[->, thick, purple!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[->, thick, red!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[->, thick, orange!50] (0,1) -- (0,0.5); + \draw[->, thick, blue!50] (2,0.5) -- (2, 1); + \draw[->, thick, purple!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[->, thick, red!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); + \draw[->, thick, cyan!50] (2, 0) -- (3,0); + \draw[->, thick, darkgreen!50] (3, 0) -- (4,0); + \end{scope} } - - \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); - \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0); - \draw[ultra thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); - \draw[ultra thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[ultra thick, ->, red] (0, 0.5) -- (1,0.5); - - \foreach \i in {-2,...,1} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \node[zero] at ( 1, 0) {}; - \node[zero] at ( 3, 0) {}; - \node[pole] at ( 1,0.5) {}; - \node[pole] at ( 3,0.5) {}; - - \end{scope} - } + } + + \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0); + \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0); + \draw[ultra thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[ultra thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[ultra thick, ->, red] (0, 0.5) -- (1,0.5); + + \foreach \i in {-2,...,1} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + + \end{scope} } - - \end{scope} + } \end{scope} + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north west] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=south east]{\small $jK^\prime$}; + \end{scope} + \node[zero] at (4,3) (n) {}; \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle}; \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {}; diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex index d4187c4..47efa53 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] @@ -7,11 +7,15 @@ \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=3.5] + \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); + % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1); + \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$}; + \draw[gray, ->] (0,-0.55) -- (0,1.05) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$}; \draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$}; - \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$}; - \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$}; + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.035) -- +(0, -0.035) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$}; + \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.035) -- +(0, -0.035) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$}; \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime_1$}; \begin{scope} @@ -34,9 +38,6 @@ % \node[] at (1.5, 0.25) {\small $N=2$}; % \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$}; - \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); - % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1); - \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$}; \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex index ae18519..158a5ec 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex index 2a36ee0..329cadd 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex index 20c2d82..31c40dc 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \def\nn{2} \def\a{2.5} -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex index 769602a..1232bf0 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] @@ -14,8 +14,7 @@ \draw[gray, ->] (0,0) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$|H(\Omega)|$}; \draw[gray, ->] (0,0) -- (2.75,0) node[anchor=west]{$\Omega$}; - \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; - \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; + \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -- (1, 0.707) (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; \node[left] at(0,1) {$1$}; diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex index 921dbfa..1d1e45e 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex new file mode 100644 index 0000000..5dd8fa4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex @@ -0,0 +1,63 @@ +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] + + \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] + \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm] + + \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} + + \begin{scope}[xscale=0.75, yscale=2.5] + + \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5); + % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1); + \node[] at (5, 0.25) {\small $N=5$}; + + \draw[gray, ->] (0,-0.25) -- (0,0.75) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; + \draw[gray, ->] (-1,0) -- (11,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; + + \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.035) -- +(0, -0.035) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + \begin{scope} + + \draw[ultra thick, ->, purple] (5, 0.5) -- (10,0.5); + \draw[ultra thick, ->, blue] (10, 0.5) -- (10,0); + \draw[ultra thick, ->, cyan] (10, 0) -- (5,0); + \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- (0,0); + \draw[ultra thick, ->, orange] (-0, 0) -- (0,0.5); + \draw[ultra thick, ->, red] (0,0.5) -- (5, 0.5); + + \foreach \i in {1,...,5} { + \begin{scope}[xshift=(\i-1)*2cm] + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[anchor=south west] at ( 1, 0) {$n_\i$}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[anchor=south west] at ( 1, 0.5) {$p_\i$}; + \end{scope} + } + + \end{scope} + + \end{scope} + + % \begin{scope}[yshift=-1.5cm, xshift=3.75cm, xscale=0.75] + + % \draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$}; + + % \draw[ultra thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0); + % \draw[ultra thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0); + % \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0); + % \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0); + % \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0); + % \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0); + + % \node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$}; + % \node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$}; + % \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$}; + % \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + % \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + % \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$}; + % \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$}; + + % \end{scope} + +\end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex index 0546fda..c34b619 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2] +\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2, thick] \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm] @@ -6,66 +6,65 @@ \begin{scope}[xscale=0.9, yscale=1.8] + \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); + \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$}; \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$}; - \begin{scope} - - \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); - - \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5); - - \begin{scope}[xshift=-1cm] - - \foreach \i in {-2,...,2} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \draw[<-, blue!50] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[<-, cyan!50] (1, 0) -- (0,0); - \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (1,0); - \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 0); - \draw[<-, red!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[<-, purple!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); - \draw[<-, blue!50] (0,1) -- (0,0.5); - \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 1); - \draw[<-, red!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); - \draw[<-, purple!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); - \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (3,0); - \draw[<-, cyan!50] (3, 0) -- (4,0); - \end{scope} - } - } - % \pause - \draw[ultra thick, <-, darkgreen] (2, 0) -- (1,0); - % \pause - \draw[ultra thick, <-, orange] (2,0.5) -- (2, 0); - % \pause - \draw[ultra thick, <-, red] (1, 0.5) -- (2,0.5); - % \pause - \draw[ultra thick, <-, blue] (0, 0) -- (0,0.5); - \draw[ultra thick, <-, purple] (0, 0.5) -- (1,0.5); - \draw[ultra thick, <-, cyan] (1, 0) -- (0,0); - % \pause - - - \foreach \i in {-2,...,2} { - \foreach \j in {-2,...,1} { - \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] - \node[zero] at ( 1, 0) {}; - \node[zero] at ( 3, 0) {}; - \node[pole] at ( 1,0.5) {}; - \node[pole] at ( 3,0.5) {}; - \end{scope} - } - } + \clip(-4.5,-1.25) rectangle (4.5,1.25); + - \end{scope} + \begin{scope}[xshift=-1cm] + + \foreach \i in {-2,...,2} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \draw[<-, thick, blue!50] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[<-, thick, cyan!50] (1, 0) -- (0,0); + \draw[<-, thick, darkgreen!50] (2, 0) -- (1,0); + \draw[<-, thick, orange!50] (2,0.5) -- (2, 0); + \draw[<-, thick, red!50] (1, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[<-, thick, purple!50] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[<-, thick, blue!50] (0,1) -- (0,0.5); + \draw[<-, thick, orange!50] (2,0.5) -- (2, 1); + \draw[<-, thick, red!50] (3, 0.5) -- (2,0.5); + \draw[<-, thick, purple!50] (4, 0.5) -- (3,0.5); + \draw[<-, thick, darkgreen!50] (2, 0) -- (3,0); + \draw[<-, thick, cyan!50] (3, 0) -- (4,0); + \end{scope} + } + } + + % \pause + \draw[ultra thick, <-, darkgreen] (2, 0) -- (1,0); + % \pause + \draw[ultra thick, <-, orange] (2,0.5) -- (2, 0); + % \pause + \draw[ultra thick, <-, red] (1, 0.5) -- (2,0.5); + % \pause + \draw[ultra thick, <-, blue] (0, 0) -- (0,0.5); + \draw[ultra thick, <-, purple] (0, 0.5) -- (1,0.5); + \draw[ultra thick, <-, cyan] (1, 0) -- (0,0); + % \pause + + + \foreach \i in {-2,...,2} { + \foreach \j in {-2,...,1} { + \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm] + \node[zero] at ( 1, 0) {}; + \node[zero] at ( 3, 0) {}; + \node[pole] at ( 1,0.5) {}; + \node[pole] at ( 3,0.5) {}; + \end{scope} + } + } \end{scope} - \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$}; - \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$}; + + \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north west] {\small $K$}; + \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=south east]{\small $jK^\prime$}; \end{scope} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 639c87c..0a48949 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -2,7 +2,7 @@ Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. -Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \ref{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: \begin{align} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ @@ -17,7 +17,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri \end{align} übereinstimmen. Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome, wobei das Equiripple-Verhalten schon sichtbar ist. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev2.pgf} @@ -37,7 +37,6 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forder Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist. Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen. - Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus. Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden: \begin{align} @@ -63,7 +62,7 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt we ~dz + \frac{\pi}{2}. \end{align} -Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ +Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$, \begin{equation} \frac{ -1 @@ -71,7 +70,7 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ \sqrt{ 1-z^2 } - } + }, \end{equation} bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. @@ -91,19 +90,19 @@ Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert. -Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. -Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. +Die Skalierung hat zur Folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden. +Somit passiert $\cos \big( N~\cos^{-1}(w) \big)$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} \caption{ $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equiripple-Verhalten führen. Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz. Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus. } \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} -Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. -Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equiripple-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für lineare Filter eignet. +Für $|w| <= 1$ ist die Funktion begrenzt zwischen $-1$ und $1$. diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6383984..704de43 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -2,23 +2,25 @@ \rhead{Anwendung} \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} -Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. -Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} -Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. -Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. +\label{kra:subsection:feder-masse-system} +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass \begin{equation*} - k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}. \end{equation*} Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung \begin{equation} - x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}. \end{equation} \begin{figure} + \centering % move image to standalone because the physics package is % incompatible with underbrace \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf} @@ -27,38 +29,40 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \label{kra:fig:simple_mass_spring} \end{figure} \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} \label{kra:fig:multi_mass_spring} \end{figure} \subsection{Hamilton-Funktion} +\label{kra:subsection:hamilton-funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. \begin{equation} - \label{kra:harmonischer_oszillator} + \label{kra:equation:harmonischer_oszillator} \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}} \end{split} \end{equation} Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \label{kra:equation:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k} \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}, \end{equation} daraus folgt \[ \dot{q} = \frac{p}{m} \qquad - \dot{p} = -kq + \dot{p} = -kq. \] -in Matrixschreibweise erhalten wir also +In Matrixschreibweise erhalten wir also \[ \begin{pmatrix} \dot{q} \\ @@ -73,10 +77,11 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also q \\ p \end{pmatrix} + . \] Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. +Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. \begin{align*} \begin{split} T &= T_1 + T_2 \\ @@ -85,19 +90,19 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der \\ \begin{split} V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}. \end{split} \end{align*} Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ + H &= T + V \\ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern \begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \frac{\partial H}{\partial p_k} & = \dot{q_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} @@ -106,18 +111,18 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \end{alignedat} \right. \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2). \end{alignedat} \right. \end{align*} In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} + \label{kra:equation:hamilton-multispringmass} \begin{pmatrix} \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ @@ -153,30 +158,38 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{pmatrix} Q \\ P \\ - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +\subsubsection{Motivation} +Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$. +Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt. +Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt. +Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen. + +Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$. +Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} -Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form \begin{equation*} - q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi), \end{equation*} die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. -Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. +Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/phase_space.tex} \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} \label{kra:fig:phasenraum} \end{figure} \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir \begin{equation} \dt \begin{pmatrix} @@ -189,27 +202,30 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ A & B \\ C & D \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} + }_{\displaystyle{\tilde{G}}} \begin{pmatrix} Q \\ P - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} -Mit einsetzten folgt +Ausgeschrieben folgt \begin{align*} \dot{Q} = AQ + BP \\ \dot{P} = CQ + DP \end{align*} \begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\ &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. -% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? -% @TODO Fazit ? +\subsection{Fazit} +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. +Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex index cde2e66..0503742 100644 --- a/buch/papers/kra/einleitung.tex +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -11,4 +11,4 @@ Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form \label{kra:equation:matrixriccati} \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t) \end{equation} -bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}. +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:riccati} \cite{kra:ethz}. diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex index f255cc8..f31db4c 100644 --- a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex +++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] \tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] -\begin{tikzpicture}[scale=2] +\begin{tikzpicture}[scale=2, >=latex] \newcommand{\ticks}[3] { % x, y coordinates diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex index cd51ea4..be445ca 100644 --- a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex +++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex @@ -8,7 +8,7 @@ } } -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] +\begin{tikzpicture}[scale=0.6, >=latex] % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA \tikzmath{ \axh = 5.2; diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index 4e0da1c..18ac853 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -7,47 +7,75 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. \subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} -Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu \begin{equation} - y' = fy^2 + gy + h + y' = fy^2 + gy + h. \end{equation} +Durch Ausschreiben des Differentialquotienten \begin{equation} \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h \end{equation} +erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} - \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx. \end{equation} \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} -Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. Wir wählen als Substitution \begin{equation} \label{kra:equation:substitution} - z = \frac{1}{y - y_p} + z = \frac{1}{y - y_p}, \end{equation} -durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt \begin{equation} y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} \end{equation} \begin{equation} - y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z', \end{equation} -mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert \begin{equation} y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) \end{equation} \begin{equation} - -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung \begin{equation} z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. -Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. +führt. +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. -\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -% Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrix-dgl} + \begin{pmatrix} + \dot{X}(t) \\ + \dot{Y}(t) + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\displaystyle{H}}, +\end{equation} +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden. +Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +\[ + P(t) = Y(t)X^{-1} +\] +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +\[ + \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. +\] + +Die Lösung erhalten wir dann mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -58,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \Phi(t_0, t) \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@ -67,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} - U(t) = + P(t) = \begin{pmatrix} \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) \end{pmatrix} @@ -80,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 3bf9257..eb1a152 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -30,12 +30,11 @@ mit Hilfe von Separation \begin{equation} u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) \end{equation} -in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, -welcher zeitunabhängig ist +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil \begin{equation} - \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}), \end{equation} - +welcher zeitunabhängig ist. %\subsection{Laplace Gleichung} %Die partielle Differentialgleichung %\begin{equation} @@ -71,7 +70,7 @@ welcher zeitunabhängig ist \label{parzyl:subsection:finibus}} Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. -Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch \begin{align} x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} @@ -103,8 +102,8 @@ Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang d Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. -Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten -kann im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem als \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 @@ -188,7 +187,7 @@ gelöst wird. % + % \frac{\partial^2}{\partial z^2}. %\end{equation} -Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung \begin{equation} \Delta f(\sigma, \tau, z) = @@ -245,8 +244,9 @@ und = 0 \end{equation} -führt. - +führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten. +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch +als Webersche Differentialgleichungen bekannt. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 0e1ad1b..e6a55b2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} - +\subsection{Lösung harmonischer Oszillator} \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Die Lösung ist somit \begin{equation} @@ -22,43 +22,83 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu} \right )}. \end{equation} +\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. +\begin{satz} + Die Funktionen + \begin{equation} + M_{k,m}(x) = + e^{-x/2} x^{m+1/2} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} + \label{parzyl:eq:sol_diffEq_1} + \end{equation} + und damit auch die Linearkombinationen + \begin{equation} + W_{k,m}(x) = \frac{ + \Gamma \left( -2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) + } + M_{-k, m} \left(x\right) + + + \frac{ + \Gamma \left( 2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) + } + M_{k, -m} \left(x\right) + \label{parzyl:eq:sol_diffEq_2} + \end{equation} + sind Lösungen der Differentialgleichung + \begin{equation} + \frac{d^2W}{d x^2} + + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} + \end{equation} + +\end{satz} \begin{definition} - Die Funktionen - \begin{equation*} - M_{k,m}(x) = - e^{-x/2} x^{m+1/2} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} - \end{equation*} - und - \begin{equation*} - W_{k,m}(x) = \frac{ - \Gamma \left( -2m\right) - }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) - } - M_{-k, m} \left(x\right) - + - \frac{ - \Gamma \left( 2m\right) - }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) - } - M_{k, -m} \left(x\right) - \end{equation*} - gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen - der Whittaker Differentialgleichung - \begin{equation} - \frac{d^2W}{d x^2} + - \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. - \label{parzyl:eq:whitDiffEq} - \end{equation} - + Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq} heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen. \end{definition} +%\begin{definition} +% Die Funktionen +% \begin{equation*} +% M_{k,m}(x) = +% e^{-x/2} x^{m+1/2} \, +% {}_{1} F_{1} +% ( +% {\textstyle \frac{1}{2}} +% + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} +% \end{equation*} +% und +% \begin{equation*} +% W_{k,m}(x) = \frac{ +% \Gamma \left( -2m\right) +% }{ +% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) +% } +% M_{-k, m} \left(x\right) +% + +% \frac{ +% \Gamma \left( 2m\right) +% }{ +% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) +% } +% M_{k, -m} \left(x\right) +% \end{equation*} +% gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen +% der Whittaker Differentialgleichung +% \begin{equation} +% \frac{d^2W}{d x^2} + +% \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. +% \label{parzyl:eq:whitDiffEq} +% \end{equation} +% +%\end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right) @@ -123,6 +163,8 @@ Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right). \end{equation} + + In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ \begin{align} U(a,x) &= @@ -161,7 +203,7 @@ der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0 \end{equation} -beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 0cf4283..1b63c8e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,134 +3,105 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Anwendung in der Physik -\label{parzyl:section:teil2}} -\rhead{Anwendung in der Physik} +\section{Eigenschaften + \label{parzyl:section:Eigenschaften}} +\rhead{Eigenschaften} -Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. -\begin{figure} - \centering - \begin{minipage}{.7\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte} - \label{parzyl:fig:leiterplatte} - \end{minipage}% - \begin{minipage}{.25\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} - \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} - \end{minipage} -\end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. -Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. - - -Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als -\begin{equation} - F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. -\end{equation} -Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen -\begin{equation} - \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} - = - \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} - \qquad - \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} - = - -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} -\end{equation} -gelten. -Aus dieser Bedingung folgt -\begin{equation} - \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} - \underbrace{ - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} - \qquad - \underbrace{ - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. -\end{equation} -Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. - - -Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als -\begin{equation} - \nabla^2\phi(x,y) = 0. -\end{equation} -Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. - - -Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden -\begin{equation} - \phi(x,y) = U(x,y). -\end{equation} -Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld -\begin{equation} - E(x,y) = V(x,y). -\end{equation} - - -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete -komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, -welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. - - -Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist -\begin{equation} - F(s) - = - \sqrt{s} +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen +$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen +\begin{align} + w_1(\alpha,x) + &= + e^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \sqrt{x + iy}. -\end{equation} -Dies kann umgeformt werden zu -\begin{equation} - F(s) + e^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + + + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(\alpha,x) + &= + xe^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} - + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} - . -\end{equation} + xe^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + x + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +sind. -Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, -indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. +Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 % \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} -% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} - c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom -kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. -%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -%\begin{equation} -% x = \sigma \tau, -%\end{equation} +Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. +\subsection{Ableitung} +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +\begin{equation} + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), +\end{equation} +und %\begin{equation} -% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). %\end{equation} -%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. -Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{align} - x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ - y &= 2c_1 c_2, -\end{align} -so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung -zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. - +\begin{equation} + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + \right) +\end{equation} +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 1b59ed9..12c28fe 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,102 +3,152 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Eigenschaften -\label{parzyl:section:Eigenschaften}} -\rhead{Eigenschaften} -\subsection{Potenzreihenentwicklung - \label{parzyl:potenz}} -%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, -%können auch als Potenzreihen geschrieben werden -Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. -Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen -$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen -\begin{align} - w_1(\alpha,x) - &= - e^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - e^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - 1 - + - \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} - + - \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -und -\begin{align} - w_2(\alpha,x) - &= - xe^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - xe^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - x - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -sind. -Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. -Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden -und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. -Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls +\section{Anwendung in der Physik + \label{parzyl:section:teil2}} +\rhead{Anwendung in der Physik} + +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} +\end{figure} +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} + \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} +\end{figure} + +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} - \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \end{equation} -und bei $w_2(\alpha,x)$ falls +gelten. +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. +\end{equation} +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. + + +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. + + +Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden: +\begin{equation} + \phi(x,y) = U(x,y). +\end{equation} +Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld +\begin{equation} + E(x,y) = V(x,y). +\end{equation} + + +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete +komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. + + +Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} - \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. + F(s) + = + \sqrt{s} + = + \sqrt{x + iy}. \end{equation} -Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. -Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt -$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. -\subsection{Ableitung} -Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ -können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt -\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. -Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} - \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), -\end{equation} -und + F(s) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} + + +%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +%\begin{equation} +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +%\end{equation} +%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als %\begin{equation} -% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} %\end{equation} +%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( - x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) - {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{3}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - \right) +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. +Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. +Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex index 94082cf..4df5619 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex @@ -4,8 +4,7 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Beispiele -\label{sturmliouville:section:examples}} -\rhead{Beispiele} +\label{sturmliouville:sec:examples}} % Fourier: Erik work \input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index bef8a39..8616172 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -4,80 +4,117 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + +% TODO: +% state goal +% use only what is necessary +% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) +% -> Eigenvalue problem with matrices only +% -> prepare reader for following examples +% +% order: +% 1. Eigenvalue problems with matrices +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem +% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) +% 4. Spectral theorem (brief) +% 5. Base of orthonormal functions + \section{Eigenschaften von Lösungen -\label{sturmliouville:section:solution-properties}} +\label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines -Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften -zustande kommen. +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert. +Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann. +Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind. +Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogonalität der Lösungsfunktionen +geschlossen. + +\subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen +\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}} + +% TODO: intro -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in -Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet -wurde, noch etwas genauer angeschaut. -Es wird also im Folgenden +Angenomen es sei eine reelle, symmetrische $n \times n$-Matrix $A$ gegeben. +Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass \[ - L_0 + \langle Av, w \rangle = - -\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx} + \langle v, Aw \rangle + \qquad + v, w \in \mathbb{R}^n \] -zusammen mit den Randbedingungen +erfüllt ist. + +Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix +selbstadjungiert ist. +Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} +für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. Dieser sagt nun aus, dass die +Matrix $A$ diagonalisierbar ist. +In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des +Eigenwertproblems \[ - \begin{aligned} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 - \end{aligned} + A v_i + = + \lambda_i v_i + \qquad \lambda_i \in \mathbb{R} \] -verwendet. -Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits -gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$ -selbsadjungiert zu machen. -Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies -für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. - -\subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} +eine Orthogonalbasis. -Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in -den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. +\subsection{Das Sturm-Liouville-Problem als Eigenwertproblem} -Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix -diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. - -Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu -zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass +In Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} wurde bereits +der Operator \[ - \langle Av, w \rangle + L = - \langle v, Aw \rangle + \frac{1}{w(x)}\left( -\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\right) +\] +eingeführt. +Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung +\[ + (p(x)y'(x))' + q(x)y(x) + = + \lambda w(x) y(x) \] -für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt. -Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden. -Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt. +in das Eigenwertproblem +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} + L y + = + \lambda y. +\end{equation} +umzuschreiben. -Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. -Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das -Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist. -Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des -Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den -Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden. -Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen, -also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -falls er selbstadjungiert ist. +\subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen} -\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} +Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher +angeschaut. +Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der +Operator $L$ genauer betrachtet. +Analog zur Matrix $A$ aus +Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +\[ + \langle L v, w\rangle + = + \langle v, L w\rangle +\] +gilt. +Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits +gezeigt, ist dies durch die +Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des +Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt. -Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine -Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. -Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen -des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des -Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. +Um nun über den Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} auf die +Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu schliessen, muss der Operator $L$ ein +sogenannter ''kompakter Operator'' sein. +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$ +gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert. -Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und -erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen -des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die -Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file +Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die +Lösungsfunktion $y$ eines regulären Sturm-Liouville-Problems eine +Linearkombination aus orthogonalen Basisfunktionen sein muss. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index d497622..2299c3c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -1,136 +1,124 @@ % % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} -Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. -Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} +Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen +Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem +französischen Mathematiker Joseph Liouville. +Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie +entwickelt. +Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. +Handelt es sich um eine partielle +Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in +mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% Wenn die lineare homogene Differentialgleichung -\begin{equation} +\[ \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 -\end{equation} +\] als \begin{equation} - \label{eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 + \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} + \frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) + + \lambda w(x)) y + = + 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. +geschrieben werden kann, dann wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als +Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} -Alle homogene 2. Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden. - -\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} -Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also -\begin{equation} - y(a) = y(b) = 0, -\end{equation} -so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung\footnote{Die Dirichlet-Randbedingung oder auch Randbedingung des ersten Typs genannt ist nach dem deutschen Mathematiker Peter Gstav Lejeune Dirichlet benannt. Sie findet Anwendung auf gewöhnliche oder patielle Differentialgleichungen und gibt mit der Bedingung die Werte an, die für die abgeleitete Lösung innerhalb der Domänengrenze gelten.}, und von einer Neumann-Randbedingung\footnote{Die Neumann-Randbedingung oder auch Randbedingung des zweiten Typs genannt, ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Neumann benannt. Sie legt die Werte fest, die eine Lösung entlang der Domänengrenze annehmen muss, wenn eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung gestellt wird.} spricht man, wenn -\begin{equation} - y'(a) = y'(b) = 0 -\end{equation} -ergibt. - -Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs} +Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können +in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +umgewandelt werden. + +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. + +\subsection{Randbedingungen +\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} +Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer +Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} -\begin{aligned} - \label{eq:randbedingungen} - k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 -\end{aligned} + \begin{aligned} + \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \end{aligned} \end{equation} -kombiniert, dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem. +ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. -\subsection{Eigenwertproblem} -Die Gleichungen \ref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems -Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; -der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. -Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. -Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. -Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar -\begin{equation} - \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y. -\end{equation} - -Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - -dies gilt für das Intervall (a,b). -Somit ergibt die Gleichung -\begin{equation} - \label{eq:skalar-sturm-liouville} - \int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0. -\end{equation} -\subsection{Koeffizientenfunktionen} -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. -Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. -Die Funktionen für das reguläre und das singuläre Sturm-Liouville-Problem sind nicht dieselben. +\subsection{Koeffizientenfunktionen +\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen +bezeichnet. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die +Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. +Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion +oder Dichtefunktion bezeichnet. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben +einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden +im nächsten Abschnitt diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} -Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. +\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem +\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige +Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} - \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} + \label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} - \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. - \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und + reell sein + \item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \item Es gelten die Randbedingungen + \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei + $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen. - - -% -%Kapitel mit "Das singuläre Sturm-Liouville-Problem" -% - - -\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}} -Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind. -\begin{definition} - \label{def:singulär_sturm-liouville-problem} - \index{singuläres Sturm-Liouville-Problem} -Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn: - \begin{itemize} - \item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder - \item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben. - \end{itemize} -\end{definition} -Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um +ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem \begin{equation} \begin{aligned} - x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\ + x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\ y(a) &= 0 \end{aligned} \end{equation} ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. - Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: + Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann + erhält man + die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. + Schaut man jetzt die Bedingungen in + Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und + vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige + Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. - \item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt. + \item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt. \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat. -Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen. -Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen. - +Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren. +Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen +nicht mehr nur aus Eigenvektoren. - - - diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex index 4b5b8af..887e085 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex @@ -9,6 +9,15 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler} +In diesem Kapitel wird zunächst nochmals ein Überblick über das +Sturm-Liouville-Problem und dessen Randbedingungen gegeben. +Dann wird ein Zusammenhang zwischen reellen symmetrischen Matrizen und +dem Sturm-Liouville-Operator $L$ hergestellt, um auf die Orthogonalität der +Lösungsfunktionen zu schliessen. +Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das +Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem +vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind. + \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex} %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem" \input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex} diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 3817dc0..5fb3a0c 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -1,82 +1,107 @@ % % tschebyscheff_beispiel.tex +% Author: Réda Haddouche % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\subsection{Tschebyscheff-Polynome +\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} +\rhead{Tschebyscheff-Polynome} +In diesem Unterkapitel wird anhand der +Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} +gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind. +Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass +überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden. +Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine +kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind. + \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} - w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ - p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ - q(x) &= 0 -\end{align*}. + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\ + q(x) &= 0. +\end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + = + 0 \end{equation} -nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. - -\subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen -\begin{equation} - T_n(x) = \cos n (\arccos x) -\end{equation}. -Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: -\begin{equation} - T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ - (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. -\end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen. -Die Funktion -\begin{equation*} - p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -\end{equation*} -ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, +ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man +Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. +Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +erhält man \begin{equation} -\begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. -\end{aligned} + \begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\ + k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0. + \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$. -Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}). -Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome +(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. -\end{aligned} + k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0. + \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige +$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind. + +\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?} +Für das reguläre Problem muss laut der +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art +\begin{equation} + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x). +\end{equation} +Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ +die Bedingungen erfüllen. +Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem. + \begin{beispiel} - Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion + illustriert. + Dazu verwendet man das Skalarprodukt + \[ + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0. + \] + mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$. + Eigesetzt ergibt dies \[ - \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. + \begin{aligned} + \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &= + \lbrack - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3}\rbrack_{-1}^{1}\\ + &= 0. + \end{aligned} \] + Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind. + Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden. \end{beispiel} - - - - - - - - - - - - diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index a72c562..0ef1072 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -5,27 +5,32 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} +\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab} +\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab -betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses -physikalischen Phänomenes auftritt. +betrachtet, angeschaut wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung +dieses physikalischen Phänomenes auftritt und hergeleitet wie die Fourierreihe +als Lösung des Problems zustande kommt. Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und -Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. -Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem -die partielle Differentialgleichung +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet, dessen initiale Wärmeverteilung durch +$u(t=0, x)$ gegeben ist. +Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} - \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, + \frac{\partial u(t, x)}{\partial t} = + \kappa \frac{\partial^{2}u(t, x)}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} -wobei der Stab in diesem Fall auf der $X$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. - -Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen -Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise -die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter -Tempreatur gehalten werden. +wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. + +Damit die Sturm-Liouville-Theorie auf das +Problem~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} angewendet +werden kann, werden noch Randbedingungen benötigt, welche in Kürze +vorgestellt werden. +Aus physikalischer Sicht geben diese Randbedingungen vor, ob die Enden des +Stabes thermisch isoliert sind oder ob sie auf konstanter Temperatur gehalten +werden. % % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen @@ -52,8 +57,10 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} -Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und -$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab +Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für +$x = 0$ und $x = l$ auftreten. +Die einzige Einschränkung liefert die initiale Wärmeverteilung $u(0, x)$. +Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen @@ -78,15 +85,16 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} -Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz -die Separationsmethode verwendet. +Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst +mittels Separation in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführt. Dazu wird \[ u(t,x) = T(t)X(x) \] -in die partielle +in die partielle Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} eingesetzt. Daraus ergibt sich @@ -132,9 +140,13 @@ Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden. -Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können -diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$. -Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen +Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können +diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. +Es gilt also beispielsweise wegen +\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}, +dass $X(0) = X(l) = 0$. + +Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen \begin{equation} \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} @@ -152,18 +164,32 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem \end{equation} gelten. -Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst -$p(x)$ -benötigt. +Um zu verifizieren, dass die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die +Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt. Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der -Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu -$p(x) = 1$ führt. +Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +verglichen, was zu +\[ +\begin{aligned} + p(x) &= 1 \\ + q(x) &= 0 \\ + w(x) &= 1 +\end{aligned} +\] +führt. -Werden nun $p(x)$ und die +Diese können bereits auf die Bedingungen in +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft +werden. +Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind. +Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein +reguläres Sturm-Liouville-Problem. + +Es werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} -in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält -man +des Stab-Problems in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} +eigesetzt und man erhält \[ \begin{aligned} k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\ @@ -177,17 +203,20 @@ erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq und $k_b \neq 0$ gewählt werden. Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf -konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und -alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind. +konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. +Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem +handelt und weiter, dass alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit -isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und +isolierten +Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} +ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$} Als erstes wird auf die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung @@ -258,14 +287,15 @@ Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt. -Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im -allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die +Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im +allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die trigonometrischen Funktionen erfüllt werden. Es werden nun die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt. + Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$. Dies fürht zu \[ @@ -288,14 +318,13 @@ sich B \sin(\beta l) = 0. \] - $\beta$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\beta l) = 0$ gilt. Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen: \[ \begin{aligned} \sin(\beta l) &= 0 \\ - \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ + \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{aligned} \] @@ -308,11 +337,11 @@ Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\alpha^{2}$ ist. Da aber $A = 0$ gilt und der Summand mit $\alpha$ verschwindet, ist dies keine Verletzung der Randbedingungen. -Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst +Durch analoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst werden. -Setzt man nun die +Setzt man die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} -in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich +in $X^{\prime}$ ein, beginnend mit $x = 0$, ergibt sich \[ X^{\prime}(0) = @@ -331,14 +360,14 @@ folgt nun = 0. \] -Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der +Wiederum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der Ausdruck den Randbedingungen entspricht. Es folgt nun \[ \begin{aligned} \sin(\alpha l) &= 0 \\ - \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\ - \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N} + \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\ + \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0 \end{aligned} \] und somit @@ -347,7 +376,7 @@ und somit \] Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur -wie auch mit isolierten Enden +wie auch für den Stab mit isolierten Enden \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \mu @@ -355,16 +384,32 @@ wie auch mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} -% -% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. -% +\subsubsection{Fourierreihe als Lösung} -Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt. -Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei -$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt. -Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$ -unterschiedlich sein. -Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu +Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun +wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potenziell +unendlich viele Lösungen gibt. +Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen +Koeffizienten für jede Lösungsfunktion. +Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination +\[ + X(x) + = + \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + + + \sum_{n = 0}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +aus allen möglichen Lösungen um. + +Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen. +Da +\[ + \begin{aligned} + a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\ + b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0 + \end{aligned} +\] +gilt, endet man somit bei \[ X(x) = @@ -374,10 +419,33 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu + \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right). \] +Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst. +Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen +orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines +Sturm-Liouville-Problems handelt. +Es gilt also +\[ +\begin{aligned} + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0 \qquad n \neq m \\ + \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0 \qquad n \neq m \\ + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right) + \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx + &= 0. +\end{aligned} +\] + +\subsubsection{Berechnung der Fourierkoeffizienten} -Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere -Bedingungen benötigt. -Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$. +% +% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. +% + +Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten wird nun die initiale +Wärmeverteilung oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$ benötigt. Es gilt also nun die Gleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} @@ -417,13 +485,13 @@ gebildet: Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze -Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. +Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und ungerade $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ -gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: +gerade, respektive ungerade auf $[-l, 0]$ fortsetzen: \[ \begin{aligned} \hat{u}_c(0, x) @@ -444,22 +512,23 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen: \end{aligned} \] -Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei -skalliert wurde, also gilt nun +Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale +um den Faktor zwei skalliert wurde. +Es gilt also \[ -\begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - &= + = 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - \\ +\] +und +\[ \int_{-l}^{l}\hat{u}_s(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx - &= + = 2\int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx. -\end{aligned} \] -Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} -berechnet: +Als nächstes wird nun das +Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine} berechnet: \[ \begin{aligned} \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx @@ -508,13 +577,15 @@ orthogonal zueinander stehen und \] da Sinus- und Cosinus-Funktionen ebenfalls orthogonal zueinander sind. -Es bleibt also lediglich der Summand für $a_m$ stehen, was die Gleichung zu +Es bleibt also lediglich der Summand mit $a_m$ stehen, was die Gleichung zu \[ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx = a_m\int_{-l}^{l}\cos^2\left(\frac{m\pi}{l}x\right)dx \] -vereinfacht. Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite +vereinfacht. + +Im nächsten Schritt wird nun das Integral auf der rechten Seite berechnet und dann nach $a_m$ aufgelöst. Am einnfachsten geht dies, wenn zuerst mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \[ @@ -552,7 +623,7 @@ $ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass gilt. Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$. -Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten +Wie zuvor bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der konstanten Funktion $1$. Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten @@ -580,14 +651,14 @@ Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet: \] Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils -über ein Vielfaches der Periode integriert wird. +über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird. Es bleibt also noch \[ 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx = - a_0 \int_{-l}^{l}dx + a_0 \int_{-l}^{l}dx, \] -, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: +was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt: \[ \begin{aligned} 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx @@ -616,13 +687,19 @@ Es bleibt also noch \subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. -Diese wird über das charakteristische Polynom +Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom \[ \lambda - \kappa \mu = 0 \] -gelöst. +der Gleichung +\[ + T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) + = + 0 +\] +und löst dieses. Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur Lösung |