aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/010-potenzen/polynome.tex
blob: 9edb012d0943e76c0c553bcb41e96df591a437df (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
%
% polynome.tex
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
\section{Polynome
\label{buch:potenzen:section:polynome}}
\rhead{Polynome}
Die wohl einfachsten Funktionen, die sich mit den arithmetischen
Operationen konstruieren lassen, sind die Polynome.

\begin{definition}
\index{Polynom}%
Ein {\em Polynome} vom Grad $n$ ist die Funktion
\[
p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0,
\]
wobei $a_n\ne 0$ sein muss.
Das Polynom heisst {\em normiert}, wenn $a_n=1$ ist.
\index{normiert}%
\index{Grad eines Polynoms}%
Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in der Menge $K$ wird mit
$K[x]$ bezeichnet.
\end{definition}

Die Menge $K[x]$ ist heisst auch der {\em Polynomring}, weil $K[x]$
\index{Polynomring}%
mit der Addition, Subtraktion und Multiplikation von Polynomen eine
algebraische Struktur bildet, die man einen Ring mit $1$ nennt.
\index{Ring}%
Im Folgenden werden wir uns auf die Fälle $K=\mathbb{Q}$, $K=\mathbb{R}$
und $K=\mathbb{C}$ beschränken.

Für den Grad eines Polynoms gelten die bekannten Rechenregeln
\begin{align*}
\deg (a(x) + b(x)) &\le \operatorname{max}(\deg a(x), \deg b(x))
\\
\deg (a(x)\cdot b(x)) &=\deg a(x) + \deg b(x)
\end{align*}
für beliebige Polynome $a(x),b(x)\in K[x]$.

In Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen} werden
Familien von Polynomen konstruiert werden, die sich durch eine
Orthogonalitätseigenschaft auszeichnen.
Diese Polynome lassen sich typischerweise auch als Lösungen von
Differentialgleichungen finden.
Ausserdem werden hypergeometrische Funktionen
\[
\mathstrut_pF_q\biggl(
\begin{matrix}a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,b_q\end{matrix};z
\biggr),
\] die in
Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
definiert werden, zu Polynomen, wenn mindestens einer der
Parameter $a_k$ negativ ganzzahlig ist.
Polynome sind also bereits eine vielfältige Quelle von speziellen
Funktionen.

Viele spezielle Funktionen werden aber komplizierter sein und
sich nicht als einfache Polynome ausdrücken lassen.
Genau diese Unmöglichkeit rechtfertigt ja, neue Funktionen
zu definieren.
Es bleibt aber immer noch die Notwendigkeit, effiziente 
Berechnungsverfahren für die speziellen Funktionen zu konstruieren.
Dank des folgenden Satzes kann dies immer mit Polynomen geschehen.

\begin{satz}[Weierstrass]
\label{buch:potenzen:satz:weierstrass}
\index{Weierstrass, Satz von}%
Eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige Funktion $f(x)$
lässt sich durch eine Folge $p_n(x)$ von Polynomen gleichmässig
approximieren.
\end{satz}

Der Satz sagt in dieser Form nichts darüber aus, wie die
Approximationspolynome konstruiert werden sollen.
Von Bernstein gibt es konstruktive Beweise dieses Satzes,
welche auch explizit eine Folge von Approximationspolynomen
konstruieren.
In der späteren Entwicklung werden wir für die meisten
speziellen Funktionen Potenzreihen entwickeln, deren Partialsummen
ebenfalls als Approximationen dienen können.
Weitere Möglichkeiten liefern Interpolationsmethoden der
numerischen Mathematik.

Diese Betrachtungsweise von Polynomen als Funktionen trägt
aber den zusätzlichen algebraischen Eigenschaften des Polynomringes
nicht ausreichend Rechnung.
Zum Beispiel bedeutet Gleichheit von zwei reellen Funktion $f(x)$ und
$g(x)$, dass man $f(x)=g(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ nachprüfen
muss.
Für Polynome reicht es jedoch, die Funktionswerte in nur wenigen
Punkten zu vergleichen.
Dies äussert sich zum Beispiel auch im Prinzip des
Koeffizientenvergleichs von
Satz~\ref{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich}.
Im Gegensatz zu beliebigen Funktionen kann man daher Aussagen
über Polynomen immer mit endlich Algorithmen entscheiden.
Die nächsten Abschnitte sollen diese algebraischen Eigenschaften
zusammenfassen.

%
% Polynomdivision, Teilbarkeit und ggT
%
\subsection{Polynomdivision, Teilbarkeit und grösster gemeinsamer Teiler}
Der schriftliche Divisionsalgorithmus für Zahlen funktioniert 
auch für die Division von Polynomen.
\index{Polynome!Divisionsalgorithmus}%
Zu zwei beliebigen Polynomen $p(x)$ und $q(x)$ lassen sich also
immer zwei Polynome $a(x)$ und $r(x)$ finden derart, dass
$p(x) = a(x) q(x) + r(x)$.
Das Polynom $a(x)$ heisst der {\em Quotient}, $r(x)$ der {\em Rest}
der Division.
Das Polynom $p(x)$ heisst {\em teilbar} durch $q(x)$, geschrieben
\index{teilbar}%
\index{Polynome!teilbar}%
$q(x)\mid p(x)$, wenn $r(x)=0$ ist.

%
% Grösster gemeinsamer Teiler
%
\subsubsection{Grösster gemeinsamer Teiler}
Mit dem Begriff der Teilbarkeit geht auch die Idee des grössten
gemeinsamen Teilers einher.
Ein gemeinsamer Teiler zweier Polynome $a(x)$ und $b(x)$ 
\index{gemeinsamer Teiler}%
ist ein Polynom $g(x)$, welches beide Polynome teilt, also
$g(x)\mid a(x)$ und $g(x)\mid b(x)$.
\index{grösster gemeinsamer Teiler}%
Ein Polynom $g(x)$ heisst {\em grösster gemeinsamer Teiler} von $a(x)$
und $b(x)$, wenn jeder andere gemeinsame Teiler $f(x)$ von $a(x)$
und $b(x)$ auch ein Teiler von $g(x)$ ist.
Man beachte, dass die skalaren Vielfachen eines grössten gemeinsamen
Teilers ebenfalls grösste gemeinsame Teiler sind, der grösste gemeinsame
Teiler ist also nicht eindeutig bestimmt.

%
% Der euklidische Algorithmus
%
\subsubsection{Der euklidische Algorithmus}
\index{Algorithmus!euklidisch}%
\index{euklidischer Algorithmus}%
Zur Berechnung eines grössten gemeinsamen Teilers steht wie bei den
ganzen Zahlen der euklidische Algorithmus zur Verfügung.
Dazu bildet man die Folgen von Polynomen
\[
\begin{aligned}
a_0(x)&=a(x) & b_0(x) &= b(x)
&
&\Rightarrow&
a_0(x)&=b_0(x) q_0(x) + r_0(x) &&
\\
a_1(x)&=b_0(x) & b_1(x) &= r_0(x)
&
&\Rightarrow&
a_1(x)&=b_1(x) q_1(x) + r_1(x) &&
\\
a_2(x)&=b_1(x) & b_2(x) &= r_1(x)
&
&\Rightarrow&
a_2(x)&=b_2(x) q_2(x) + r_2(x) &&
\\
&&&&&\hspace*{2mm}\vdots&&
\\
a_{m-1}(x)&=b_{m-2}(x) & b_{m-1}(x) &= r_{m-2}(x) 
&
&\Rightarrow&
a_{m-1}(x)&=b_{m-1}(x)q_{m-1}(x) + r_{m-1}(x) &\text{mit }r_{m-1}(x)&\ne 0
\\
a_m(x)&=b_{m-1}(x) & b_m(x)&=r_{m-1}(x)
&
&\Rightarrow&
a_m(x)&=b_m(x)q_m(x).&&
\end{aligned}
\]
Der Index $m$ ist der Index, bei dem zum ersten Mal $r_m(x)=0$ ist.
Dann ist $g(x)=r_{m-1}(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler.

%
% Der erweiterte euklidische Algorithmus
%
\subsubsection{Der erweiterte euklidische Algorithmus}
Die Konstruktion der Folgen $a_n(x)$ und $b_n(x)$ kann in Matrixform
kompakter geschrieben werden als
\[
\begin{pmatrix}
a_k(x)\\
b_k(x)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_{k-1}(x)\\
r_{k-1}(x)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & -q_{k-1}(x)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{k-1}(x)\\
b_{k-1}(x)
\end{pmatrix}.
\]
Kürzen wir die $2\times 2$-Matrix als
\[
Q_k(x) = \begin{pmatrix} 0&1\\1&-q_k(x)\end{pmatrix}
\]
ab, dann ergibt das Produkt der Matrizen $Q_0(x)$ bis $Q_{m}(x)$
\[
\begin{pmatrix}
g(x)\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
r_{m-1}(x)\\
r_{m}(x)
\end{pmatrix}
=
Q_{m}(x)
Q_{m-1}(x)
\cdots
Q_1(x)
Q_0(x)
\begin{pmatrix}
a(x)\\
b(x)
\end{pmatrix}.
\]
Zur Berechnung des Produktes der Matrizen $Q_k(x)$ kann man rekursiv
vorgehen mit der Rekursionsformel
\[
S_{k}(x) = Q_{k}(x) S_{k-1}(x)
\qquad\text{mit}\qquad
S_{-1}(x)
=
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\]
Ausgeschrieben bedeutet dies Matrixrekursionsformel
\[
S_{k-1}(x)
=
\begin{pmatrix} 
c_{k-1} & d_{k-1} \\
c_k     & d_k
\end{pmatrix}
\qquad\Rightarrow\qquad
Q_{k}(x) S_{k-1}(x)
=
\begin{pmatrix}
0&1\\1&-q_k(x)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 
c_{k-1} & d_{k-1} \\
c_k     & d_k
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_k&d_k\\
c_{k+1}&d_{k+1}
\end{pmatrix}.
\]
Daraus lässt sich für die Matrixelemente die Rekursionsformel
\[
\begin{aligned}
c_{k+1} &= c_{k-1} - q_k(x) c_k(x) \\
d_{k+1} &= d_{k-1} - q_k(x) d_k(x)
\end{aligned}
\quad
\bigg\}
\qquad
\text{mit Startwerten}
\qquad
\bigg\{
\begin{aligned}
\quad
c_{-1} &= 1, & c_0 &= 0 \\
d_{-1} &= 0, & d_0 &= 1.
\end{aligned}
\]
Wendet man die Matrix $S_m(x)$ auf den Vektor mit den Komponenten
$a(x)$ und $b(x)$, erhält man die Beziehungen
\[
g(x) = c_{k-1}(x) a(x) + d_{k-1}(x) b(x)
\qquad\text{und}\qquad
0 = c_k(x) a(x) + d_k(x) b(x).
\]
Dieser Algorithmus heisst der erweiterte euklidische Algorithmus.
Wir fassen die Resultate zusammen im folgenden Satz.

\begin{satz}
Zu zwei Polynomen $a(x),b(x) \in K[x]$ gibt es Polynome
$g(x),c(x),d(x)\in K[x]$
derart, dass $g(x)$ ein grösster gemeinsamer Teiler von $a(x)$ und $b(x)$
ist, und ausserdem
\[
g(x) = c(x)a(x)+d(x)b(x)
\]
gilt.
\end{satz}

%
% Faktorisierung und Nullstellen
%
\subsection{Faktorisierung und Nullstellen
\label{buch:polynome:subsection:faktorisierung-und-nullstellen}}
% wird später gebraucht um bei der Definition der hypergeometrischen Reihe
% die Zaehler- und Nenner-Polynome als Pochhammer-Symbole zu entwickeln
Ist $\alpha$ eine Nullstelle des Polynoms $a(x)$, also $a(\alpha)=0$.
Der Divisionsalgorithmus mit für die Polynome $a(x)$ und $b(x)=x-\alpha$
liefert zwei Polynome $q(x)$ für den Quotienten und $r(x)$ für den Rest
mit den Eigenschaften
\[
a(x)
=
q(x) b(x)
+r(x)
=
q(x)(x-\alpha)+r(x)
\qquad\text{mit}\qquad
\deg r < \deg b(x)=1.
\]
Der Rest $r(x)$ ist somit eine Konstante. 
Setzt man $x=\alpha$ ein, folgt
\[
0
=
a(\alpha)
=
q(\alpha)(\alpha-\alpha)+r(\alpha)
=
r(\alpha),
\]
der Rest $r(x)$ muss also verschwinden.
Für eine Nullstelle $\alpha$ von $a(x)$ ist $a(x)$ durch $(x-\alpha)$
teilbar.
Daraus folgt auch, dass ein Polynom $a(x)$ vom Grad $n=\deg a(x)$ höchstens
$n$ verschiedene Nullstellen haben kann.

Sind $\alpha_1,\dots,\alpha_k$ alle Nullstellen von $a(x)$, dann lässt
sich $a(x)$ zerlegen in Faktoren
\[
a(x)
=
(x-\alpha_1)^{m_1}
(x-\alpha_2)^{m_2}
\cdots
(x-\alpha_k)^{m_k}
b(x).
\]
Das Polynom $b(x)\in K[x]$ hat keine Nullstellen in $K$.

Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ eine gemeinsame Nullstelle $\alpha$
haben, dann ist $(x-\alpha)$ ein Teiler beider Polynome und somit auch
ein Teiler eines grössten gemeinsamer Teiler.
Insbesondere sind die Nullstellen des grössten gemeinsamen Teilers
gemeinsame Nullstellen von $a(x)$ und $b(x)$.

%
% Koeffizienten-Vergleich
%
\subsection{Koeffizienten-Vergleich}
% Wird gebraucht für die Potenzreihen-Methode
% Muss später ausgedehnt werden auf Potenzreihen
Wenn zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ vom Grad $\le n$ die gleichen
Koeffizienten haben, dann sind sie selbstverständlich gleich.
Weniger klar ist, ob zwei Polynome, die die gleichen Werte für beliebige
$x$ haben, auch die gleichen Koeffizienten haben.
Wir nehmen also an, dass $a(x)=b(x)$ gilt für jedes $x\in K$ und
wollen daraus ableiten, dass die Koeffizienten übereinstimmen müssen.
Seien $x_1,\dots,x_n$ verschiedene Elemente in $K$, dann
hat das Polynom $p(x)=a(x)-b(x)$, welches Grad $\le n$ hat,
die $n$ Nullstellen $x_k$ für $k=1,\dots,n$.
$p(x)$ ist also durch alle Polynome $x-x_k$ teilbar.
Weil $\deg p\le n$ ist, muss 
\[
0
=
a(x)-b(x)
=
p(x)
=
p_n
(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)
\]
sein.
Ist $y\in K$ verschieden von den Nullstellen $x_i$, dann ist 
in $y-x_i\ne 0$ für alle $i$.
Für das Produkt gilt dann
\[
0
=
p(y) 
=
p_n
(\underbrace{x-x_1}_{\displaystyle \ne 0})
\cdots
(\underbrace{x-x_n}_{\displaystyle \ne 0}),
\]
so dass $p_n=0$ sein muss, was schliesslich dazu führt, dass alle
Koeffizienten von $a(x)-b(x)$ verschwinden.
Daraus folgt das Prinzip des Koeffizientenvergleichs:

\begin{satz}[Koeffizientenvergleich]
\label{buch:polynome:satz:koeffizientenvergleich}
Zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ stimmen genau dann überein, wenn
sie die gleichen Koeffizienten haben.
\end{satz}

Man beachte, dass dieses Prinzip nur funktioniert, wenn es genügend
viele verschiedene Elemente in $K$ gibt.
Für die endlichen Körper $\mathbb{F}_p$ gilt dies nicht, denn es gilt
\[
a(x)
=
x^p-x\equiv 0\mod p
\]
für jede Zahl $x\in\mathbb{F}_p$, das Polynom $a(x)$ mit Grad $p$
hat also genau $p$ Nullstellen, es gibt aber keine weitere Nullstelle,
mit der man wie oben schliessen könnte, dass $a(x)$ das Nullpolynom ist.

%
% Berechnung von Polynom-Werten
%
\subsection{Berechnung von Polynom-Werten}
Die naive Berechnung der Werte eines Polynoms $p(x)$ vom Grad $n$
beginnt mit der Berechnung der Potenzen von $x$.
Da alle Potenzen benötigt werden, wird man dazu $n-1$ Multiplikationen
benötigen.
Die Potenzen müssen anschliessend mit den Koeffizienten multipliziert
werden, dazu sind weitere $n$ Multiplikationen nötig.
Der Wert des Polynoms kann also erhalten werden mit $2n-1$ Multiplikationen
und $n$ Additionen.

Die Anzahl nötiger Multiplikationen kann mit dem folgenden Vorgehen
reduziert werden, welches auch als das {\em Horner-Schema} bekannt ist.
\index{Horner-Schema}%
Statt erst am Schluss alle Terme zu addieren, addiert man so früh
wie möglich.
Zum Beispiel multipliziert man $(a_nx+a_{n-1})$ mit $x$, was auf
die Multiplikationen beider Terme mit $x$ hinausläuft.
Mit dieser Idee kann man das Polynom als
\[
a_nx^n
+
a_{n+1}x^{n+1}
+
\dots
+
a_1x
+
a_0
=
((\dots((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dots )x+a_1)x+a_0
\]
schreiben.
Beginnend bei der innersten Klammer sind genau $n$ Multiplikationen
und $n$ Additionen nötig, man spart mit diesem Vorgehen also
$n-1$ Multiplikationen.