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Finden Sie eine Potenzreihe für die Funktion
\(
z\mapsto \frac{1}{z}
\)
im Punkt $z_0\ne 0$.
\begin{hinweis}
Berechnen Sie $1/(z_0 - (z_0-z))$.
\end{hinweis}
\begin{loesung}
Die Funktion im Hinweis kann in die Form einer geometrischen Reihe
gebracht werden:
\begin{align*}
\frac{1}{z_0-(z_0-z)}
&=
\frac{1}{z_0}
\cdot
\frac{1}{1-(\frac{z_0-z}{z_0})}
=
\frac{1}{z_0}
\sum_{k=0}^\infty \biggl(\frac{z_0-z}{z_0}\biggr)^k
=
\frac{1}{z_0}
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^k} (z-z_0)^k
=
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}} (z-z_0)^k.
\end{align*}
Die Koeffizienten der gesuchten Potenzreihe sind daher
\[
a_k = \frac{(-1)^k}{z_0^{k+1}}.
\qedhere
\]
\end{loesung}
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