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% chapter.tex -- Beschreibung des Inhaltes
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Spezielle Funktionen aus der Geometrie
\label{buch:chapter:geometrie}}
\lhead{Spezielle Funktionen aus der Geometrie}
\rhead{}
Die ältesten geometrisch definierten speziellen Funktionen
sind die Wurzeln.
Sie haben ermöglicht, die Kantenlänge eines Quadrates mit vorgegebenem
Flächeninhalt zu bestimmen.
Die Formel von Pythagoras über die Seitenlängen eines rechtwinkligen
Dreiecks ermöglicht, mit Hilfe von Quadratwurzeln aus zwei Seiten
die dritte zu berechnen.
Der Strahlensatz schliesslich reduziert alle rechtwinkligen
Dreiecke auf spezielle Dreiecke, deren eine Seite Einheitslänge
hat.
Die Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck hängen nur
vom Winkel ab.
Dies führt auf eine neue Klasse von speziellen Funktionen,
die trigonometrischen Funktionen,
die ebenfalls bereits im Altertum bekannt waren.
Mindestens ebenso wichtig wie die Berechnung ebener Dreieck
war im Altertum aber die Berechnung von Dreiecken am Himmel.
Auf einer Kugeloberfläche funktioniert Ähnlichkeit nicht mehr,
der Strahlensatz muss durch den Satz von Menelaos ersetzt werden.
Es ergibt sich eine Methode, beliebige Dreiecke auf einer Kugeloberfläche
ganz analog zum Vorgehen bei ebenen Dreiecken zu berechnen.
Diese sphärische Trigonometrie ist die Basis der Navigation
und aller astrometrischer Berechnungen.
Die Analysis hat die Möglichkeit geschaffen, die Länge von Kurven
zu definieren und zu berechnen, wie auch den Flächeninhalt von
Gebieten, die von Kurven berandet sind.
Es stellt sich heraus, dass bereits anscheinend einfache Aufgaben
wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf
die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
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