1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
|
%
% gamma.tex -- Abschnitt über die Gamma-funktion
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%
\section{Die Gamma-Funktion
\label{buch:rekursion:section:gamma}}
Die Fakultät $x!$ kann rekursiv durch
\[
x! = x\cdot (x-1)! \qquad\text{und}\qquad 0!=1
\]
für alle natürlichen Zahlen $x\in\mathbb{N}$ definiert werden.
Äquivalent damit ist eine Funktion
\begin{equation}
\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)
\qquad\text{und}\qquad
\Gamma(1)=1.
\label{buch:rekursion:eqn:gammadef}
\end{equation}
Kann man eine reelle oder komplexe Funktion finden, die die
Funktionalgleichung~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef}
erfüllt und damit die Fakultät auf beliebige Argumente ausdehnt?
\subsection{Integralformel für die Gamma-Funktion}
Euler hat die folgende Integraldefinition der Gamma-Funktion gegeben.
\begin{definition}
\label{buch:rekursion:def:gamma}
Die Gamma-Funktion ist die Funktion
\[
\Gamma
\colon
\{z\in\mathbb{C} \mid \operatorname{Re}z>0\}
\to \mathbb{C}
:
z
\mapsto
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,dt
\]
\end{definition}
Man beachte, dass das Integral für $x=0$ nicht definiert ist, eine
Potenzreihenentwicklung um einen Punkt $x_0$ auf der positiven reellen
Achse kann also höchstens den Konvergenzradius $\varrho=|x_0|$ haben.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/040-rekursion/images/gammaplot.pdf}
\caption{Graph der Gamma-Funktion $z\mapsto\Gamma(z)$ und der alternativen
Funktion $\Gamma(z)+\sin(\pi z)$, die für ganzzahlige Argumente ebenfalls
die Werte der Fakultät annimmt.
\label{buch:rekursion:fig:gamma}}
\end{figure}
\subsubsection{Alternative Lösungen}
Die Funktion $\Gamma(z)$ ist nicht die einzige Funktion, die natürlichen
Zahlen die Werte $\Gamma(n+1) = n!$ der Fakultät annimmt.
Indem man eine beliebige Funktion $f(z)$ addiert, die auf alle
natürlichen Zahlen verschwindet, also $f(n)=0$ für $n\in\mathbb{N}$,
erhält man eine weitere Funktion, die auf natürlichen Zahlen
die Werte der Fakultät annimmt.
Ein Beispiel einer solchen Funktion ist
\begin{equation}
z\mapsto f(z)=\Gamma(z) + \sin \pi z,
\label{buch:rekursion:eqn:gammaalternative}
\end{equation}
die Funktion $f(z)=\sin\pi z$ verschwindet sogar auf allen ganzen
Zahlen.
In Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} ist die Gamma-Funktion
in rot geplotet, die Funktion~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammaalternative}
in grün.
Die Punkte $(n,(n-1)!)$ sind in blau bezeichnet, sie sind beiden Graphen
gemeinsam.
\subsubsection{Pol erster Ordnung bei $z=0$}
Wir haben zu prüfen, dass sowohl der Wert $\Gamma(1)$ korrekt ist als
auch die Rekursionsformel~\eqref{buch:rekursion:eqn:gammadef} gilt.
Der Wert für $z=1$ ist
\begin{align*}
\Gamma(1)
&=
\int_0^\infty t^{1-1}e^{-t}\,dt
=
\left[ -e^{-t} \right]_0^\infty
=
1.
\end{align*}
Für die Rekursionsformel kann mit Hilfe von partieller Integration
bekommen:
\begin{align*}
\Gamma(z+1)
&=
\int_0^\infty t^{z+1-1}e^{-t}\,dt
=
\biggl[-t^{z}e^{-t}\biggr]_0^\infty
+
\int_0^\infty z t^{z-1}e^{-t}\,dt
\\
&=
z
\int_0^\infty
t^{z-1}e^{-t}\,dt
=
z \Gamma(z).
\end{align*}
Für $0<z<\varepsilon$ für eine $\varepsilon >0$ folgt aus der
Funktionalgleichung
\[
\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1+z)}{z}.
\]
Da $\Gamma(1)=1$ ist und $\Gamma$ eine in einer
Umgebung von $1$ stetige Funktion ist, kann sie in der Form
\(
\Gamma(1+z)=\Gamma(1) + zf(z)
\)
schreiben, wobei $f(z)$ eine differenzierbare Funktion ist mit
$f'(1)=\Gamma'(1)$.
Daraus ergibt sich für $\Gamma(z)$ der Ausdruck
\[
\Gamma(z) = \frac{\Gamma(1)}{z} + f(z) = \frac{1}{z} + f(z).
\]
Die Gamma-Funktion hat daher and er Stelle $z=0$ einen Pol erster Ordnung.
\subsubsection{Ausdehnung auf $\operatorname{Re}z<0$}
Die Integralformel konvergiert nicht für $\operatorname{Re}z\le 0$.
Durch analytische Fortsetzung, wie sie im
Abschnitt~\ref{buch:funktionentheorie:section:fortsetzung}
beschrieben wird, kann die Funktion auf ganz $\mathbb{C}$ ausgedehnt
werden, mit Ausnahme einzelner Pole.
Die Funktionalgleichung gilt natürlich für alle $z\in\mathbb{C}$,
für die $\Gamma(z)$ definiert ist.
In einer Umgebung von $z=-n$ gilt
\[
\Gamma(z)
=
\frac{\Gamma(z+1)}{z}
=
\frac{\Gamma(z+2)}{z(z+1)}
=
\frac{\Gamma(z+3)}{z(z+1)(z+2)}
=
\dots
=
\frac{\Gamma(z+n)}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)}
\]
Keiner der Faktoren im Nenner verschwindet in der Nähe von $z=-n$, der
Zähler hat aber einen Pol erster Ordnung an dieser Stelle.
Daher hat auch der Quotient einen Pol erster Ordnung.
Abbildung~\ref{buch:rekursion:fig:gamma} zeigt die Pole bei den
nicht negativen ganzen Zahlen.
|
