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Schreiben Sie die in Aufgabe~\ref{501} gefundenen Lösungen der
Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen.
\begin{loesung}
Die Lösung für $a=1$ und $b=0$ hat die Reihenentwicklung
\begin{align*}
y_1(x)
&=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot\ldots\cdot (3k-1)\cdot 3k}
x^{3k}
\\
&=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{2\cdot 5\cdot \ldots\cdot (3k-1)}
\frac{1}{3\cdot 6\cdot \ldots\cdot 3k}
x^{3k}
\\
&=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{3^k\cdot \frac23\cdot(\frac23+1)\cdot\ldots\cdot(\frac23+k-1)}
\frac{1}{3^k\cdot k!}
(x^3)^k
\\
&=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
=
\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
\biggr).
\end{align*}
Aus der zweiten Lösung für $a=0$ und $b=1$ muss erst der gemeinsame
Faktor $x$ ausgeklammert werden:
\begin{align*}
y_2(x)
&=
x\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{3\cdot4\cdot 6\cdot 7\cdot\ldots\cdot 3k\cdot(3k+1)}x^{3k}
\\
&=
x\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{4\cdot 7\cdot\ldots\cdot (3k+1)}
\frac{1}{3^k}
\frac{(x^3)^k}{k!}
\\
&=
x\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{\frac43\cdot (\frac43+1)\cdot (\frac43+2)\cdot\ldots\cdot \frac43+k-1}
\frac{1}{(3^2)^k}
\frac{(x^3)^k}{k!}
\\
&=
x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
\frac{x^3}{9}
\biggr).
\qedhere
\end{align*}
\end{loesung}
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