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% differentialkoerper.tex
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\section{Differentialkörper und das Integrationsproblem
\label{buch:integrale:section:dkoerper}}
\rhead{Differentialkörper}
Die Einführung einer neuen Funktion $\operatorname{erf}(x)$ wurde
durch die Behauptung gerechtfertigt, dass es für den Integranden
$e^{-x^2}$ keine Stammfunktion in geschlossener Form gäbe.
Die Fehlerfunktion ist bei weitem nicht die einzige mit dieser
Eigenschaft.
Doch woher weiss man, dass es keine solche Funktion gibt, und
was heisst überhaupt ``Stammfunktion in geschlossener Form''?
In diesem Abschnitt wird daher ein algebraischer Rahmen entwickelt,
in dem diese Frage sinnvoll gestellt werden kann.
Das ultimative Ziel, welches aber erst in
Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch} in Angriff genommen
wird, ist ein Computer-Algorithmus, der Integrale in geschlossener
Form findet oder beweist, dass dies für einen gegebenen Integranden
nicht möglich ist.
\input{chapters/060-integral/rational.tex}
\input{chapters/060-integral/erweiterungen.tex}
\input{chapters/060-integral/diffke.tex}
\input{chapters/060-integral/iproblem.tex}
\input{chapters/060-integral/irat.tex}
\input{chapters/060-integral/sqrat.tex}
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