1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
|
Für Funktionen auf dem Interval $(-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2)$ ist
\[
\langle f,g\rangle
=
\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} f(x)g(x)\cos x\,dx
\]
ein Skalarprodukt.
Bestimmen Sie bezüglich dieses Skalarproduktes orthogonale Polynome
bis zum Grad $2$.
\begin{hinweis}
Verwenden Sie
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} 1\cos x\,dx
&=
1,
&
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
&=
\frac{\pi^2-8}{2},
&
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^4\cos x\,dx
&=
\frac{\pi^4-48\pi^2+384}{8}.
\end{align*}
\end{hinweis}
\begin{loesung}
Wir müssen den Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsprozess für die
Polynome $f_0(x)=1$, $f_1(x)=x$ und $f_2(x)=x^2$ durchführen.
Zunächst halten wir fest, dass
\[
\langle f_0,f_0\rangle
=
\frac12
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} \cos x\,dx
=
1,
\]
das Polynom $g_0(x)=f_0(x)$ ist hat also Norm $1$.
Ein dazu orthogonales Polynom ist
\(
f_1(x) - \langle g_0,f_1\rangle g_0(x),
\)
wir müssen also das Skalarprodukt
\[
\langle g_0,f_1\rangle
=
\frac{1}{2}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
x\cos x\,dx
\]
bestimmen.
Es verschwindet, weil die Funktion $x\cos x$ ungerade ist.
Somit ist die Funktion $f_1(x)=x$ orthogonal zu $f_0(x)=1$, um sie auch zu
normieren berechnen wir das Integral
\[
\| f_1\|^2
=
\frac12\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} x^2\cos x\,dx
=
\frac{\pi^2-8}{4},
\]
und
\[
g_1(x)
=
\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}} x.
\]
Zur Berechnung von $g_2$ müssen wir die Skalarprodukte
\begin{align*}
\langle g_0,f_2\rangle
&=
\frac{1}{2}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
x^2
\cos x
\,dx
=
\frac{\pi^2-8}{4}
\\
\langle g_1,f_2\rangle
&=
\frac{1}{2}
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
\frac{2}{\sqrt{\pi^2-8}}
x
\cdot x^2
\cos x
\,dx
=
0
\end{align*}
bestimmen.
Damit wird das dritte Polynom
\[
f_2(x)
- g_0(x)\langle g_0,f_2\rangle
- g_1(x)\langle g_1,f_2\rangle
=
x^2 - \frac{\pi^2-8}{4},
\]
welches bereits orthogonal ist zu $g_0$ und $g_1$.
Wir können auch noch erreichen, obwohl das nicht verlangt war,
dass es normiert ist, indem wir die Norm berechnen:
\[
\left\| x^2-\frac{\pi^2-8}{4} \right\|^2
=
\frac12
\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}
\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)^2
\cos x\,dx
=
20-2\pi^2
\]
woraus sich
\[
g_2(x)
=
\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}
\biggl(
x^2 - \frac{\pi^2-8}{4}
\biggr).
\]
Damit haben wir die ersten drei bezüglich des obigen Skalarproduktes
orthogonalen Polynome
\begin{align*}
g_0(x)&=1,
&
g_1(x)&=\frac{2x}{\sqrt{\pi^2-8}},
&
g_2(x)&=\frac{1}{\sqrt{20-2\pi^2}}\biggl(x^2-\frac{\pi^2-8}{4}\biggr)
\end{align*}
gefunden.
\end{loesung}
|
