blob: 8bc276fe97f8496c1e243c8af7daceb678e977ce (
plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
|
Verwenden Sie die Eulersche Spiegelungsformel um
\[
S_n
=
\sum_{k=1}^n
\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
\]
zu berechnen.
\begin{loesung}
Zunächst beachten wir, dass
\[
1 - \frac{1+2k}2
=
\frac{1-2k}2.
\]
Dies bedeutet, dass
\[
\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
\Gamma\biggl(\frac{1-2k}2\biggr)
=
\Gamma\biggl(\frac{1+2k}2\biggr)
\Gamma\biggl(1-\frac{1+2k}2\biggr)
=
\frac{\pi}{
\sin\pi\frac{1+2k}2
}
=
\frac{\pi}{\sin(2k+1)\frac{\pi}2}
\]
nach der Eulerschen Spiegelungsformel.
Das Argument der Sinus-Funktion ist ein ungerades Vielfaches
von $\frac{\pi}2$, die Sinus-Funktion hat dort die Werte $\pm 1$,
genauer
\[
\sin(2k+1)\frac{\pi}2
=
(-1)^k.
\]
Damit wird die gesuchte Summe:
\[
S_n
=
\sum_{k=1}^n
\frac{\pi}{(-1)^k}
=
-\pi+\pi-\pi+\dots+(-1)^n\pi
=
\begin{cases}
0&\qquad\text{$n$ gerade}\\
-\pi&\qquad\text{$n$ ungerade}.
\end{cases}
\qedhere
\]
\end{loesung}
|
