aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
blob: 613f1301e434f1e8d0f2a9f5c404d2b279f2a7ea (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
%
% dglsol.tex -- Lösung von Differentialgleichungen
%
% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
%

%
% Lösung von Differentialgleichungen
%
\subsection{Lösungen von Differentialgleichungen
\label{buch:elliptisch:subsection:differentialgleichungen}}
Die elliptischen Funktionen ermöglichen die Lösung gewisser nichtlinearer
Differentialgleichungen in geschlossener Form.
Ziel dieses Abschnitts ist, Differentialgleichungen der Form
\(
\dot{x}(t)^2
=
P(x(t))
\)
mit einem Polynom $P$ vierten Grades oder
\(
\ddot{x}(t)
=
p(x(t))
\)
mit einem Polynom dritten Grades als rechter Seite lösen zu können.

%
% Die Differentialgleichung der elliptischen Funktionen
%
\subsubsection{Die Differentialgleichungen der elliptischen Funktionen}
Um Differentialgleichungen mit elliptischen Funktion lösen zu
können, muss man als erstes die Differentialgleichungen derselben
finden.
Quadriert man die Ableitungsregel für $\operatorname{sn}(u,k)$, erhält
man
\[
\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
=
\operatorname{cn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2.
\]
Die Funktionen auf der rechten Seite können durch $\operatorname{sn}(u,k)$
ausgedrückt werden, dies führt auf die Differentialgleichung
\begin{align*}
\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{sn}(u,k)\biggr)^2
&=
\bigl(
1-\operatorname{sn}(u,k)^2
\bigr)
\bigl(
1-k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2
\bigr)
\\
&=
k^2\operatorname{sn}(u,k)^4 
-(1+k^2)
\operatorname{sn}(u,k)^2 
+1.
\end{align*}
Für die Funktion $\operatorname{cn}(u,k)$ ergibt die analoge Rechnung
\begin{align*}
\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)
&=
-\operatorname{sn}(u,k) \operatorname{dn}(u,k)
\\
\biggl(\frac{d}{du}\operatorname{cn}(u,k)\biggr)^2
&=
\operatorname{sn}(u,k)^2 \operatorname{dn}(u,k)^2
\\
&=
\bigl(1-\operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
\bigl(k^{\prime 2}+k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
\\
&=
-k^2\operatorname{cn}(u,k)^4
+
(k^2-k^{\prime 2})\operatorname{cn}(u,k)^2
+
k^{\prime 2}
\intertext{und weiter für $\operatorname{dn}(u,k)$:}
\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
&=
-k^2\operatorname{sn}(u,k)\operatorname{cn}(u,k)
\\
\biggl(
\frac{d}{du}\operatorname{dn}(u,k)
\biggr)^2
&=
\bigl(k^2 \operatorname{sn}(u,k)^2\bigr)
\bigl(k^2 \operatorname{cn}(u,k)^2\bigr)
\\
&=
\bigl(
1-\operatorname{dn}(u,k)^2
\bigr)
\bigl(
\operatorname{dn}(u,k)^2-k^{\prime 2}
\bigr)
\\
&=
-\operatorname{dn}(u,k)^4
+
(1+k^{\prime 2})\operatorname{dn}(u,k)^2
-k^{\prime 2}.
\end{align*}

\begin{table}
\centering
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
\text{Funktion $y=$}&\text{Differentialgleichung}&\alpha&\beta&\gamma\\
\hline
\operatorname{sn}(u,k)
	& y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(1-k^2y^2)
		&k^2&1+k^2&1
\\
\operatorname{cn}(u,k) &y'^2 = \phantom{-}(1-y^2)(k^{\prime2}+k^2y^2)
		&-k^2	&k^2-k^{\prime 2}=2k^2-1&k^{\prime2}
\\
\operatorname{dn}(u,k)
	& y'^2 = -(1-y^2)(k^{\prime 2}-y^2)
		&-1	&1+k^{\prime 2}=2-k^2	&-k^{\prime2}
\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Elliptische Funktionen als Lösungsfunktionen für verschiedene
nichtlineare Differentialgleichungen der Art
\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}.
Die Vorzeichen der Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
entscheidet darüber, welche Funktion für die Lösung verwendet werden
muss.
\label{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}}
\end{table}

Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen genügen also alle
einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung der selben Art.
Das Quadrat der Ableitung ist ein Polynom vierten Grades der Funktion.
Die Differentialgleichungen sind in der
Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen} zusammengefasst.

%
% Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen Funktionen
%
\subsubsection{Die Differentialgleichung der abgeleiteten elliptischen
Funktionen}
Da auch die Ableitungen der abgeleiteten Jacobischen elliptischen
Funktionen Produkte von genau zwei Funktionen sind, die sich wieder
durch die ursprüngliche Funktion ausdrücken lassen, darf man erwarten,
dass alle elliptischen Funktionen einer ähnlichen Differentialgleichung
genügen.
Um dies besser einzufangen, schreiben wir $\operatorname{pq}(u,k)$,
wenn wir eine beliebige abgeleitete Jacobische elliptische Funktion.
Für 
$\operatorname{pq}=\operatorname{sn}$
$\operatorname{pq}=\operatorname{cn}$
und
$\operatorname{pq}=\operatorname{dn}$
wissen wir bereits und erwarten für jede andere Funktion dass
$\operatorname{pq}(u,k)$ auch, dass sie Lösung einer Differentialgleichung
der Form
\begin{equation}
\operatorname{pq}'(u,k)^2
=
\alpha \operatorname{pq}(u,k)^4 + \beta \operatorname{pq}(u,k)^2 + \gamma
\label{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
\end{equation}
erfüllt,
wobei wir mit $\operatorname{pq}'(u,k)$ die Ableitung von
$\operatorname{pq}(u,k)$ nach dem ersten Argument meinen.
Die Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ hängen von $k$ ab,
ihre Werte für die grundlegenden Jacobischen elliptischen
sind in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}
zusammengestellt.

Die Koeffizienten müssen nicht für jede Funktion wieder neu bestimmt
werden, denn für den Kehrwert einer Funktion lässt sich die
Differentialgleichung aus der Differentialgleichung der ursprünglichen
Funktion ermitteln.

%
% Differentialgleichung der Kehrwertfunktion
%
\subsubsection{Differentialgleichung für den Kehrwert einer elliptischen Funktion}
Aus der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
für die Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$ kann auch eine
Differentialgleichung für den Kehrwert
$\operatorname{qp}(u,k)=\operatorname{pq}(u,k)^{-1}$
ableiten.
Dazu rechnet man
\[
\operatorname{qp}'(u,k)
=
\frac{d}{du}\frac{1}{\operatorname{pq}(u,k)}
=
\frac{\operatorname{pq}'(u,k)}{\operatorname{pq}(u,k)^2}
\qquad\Rightarrow\qquad
\left\{
\quad
\begin{aligned}
\operatorname{pq}(u,k)
&=
\frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)}
\\
\operatorname{pq}'(u,k)
&=
\frac{\operatorname{qp}'(u,k)}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
\end{aligned}
\right.
\]
und setzt in die Differentialgleichung ein:
\begin{align*}
\biggl(
\frac{
\operatorname{qp}'(u,k)
}{
\operatorname{qp}(u,k)
}
\biggr)^2
&=
\alpha \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^4}
+
\beta \frac{1}{\operatorname{qp}(u,k)^2}
+
\gamma.
\end{align*}
Nach Multiplikation mit $\operatorname{qp}(u,k)^4$ erhält man den
folgenden Satz.

\begin{satz}
\index{Satz!Differentialgleichung von $1/\operatorname{pq}(u,k)$}%
Wenn die Jacobische elliptische Funktion $\operatorname{pq}(u,k)$
der Differentialgleichung genügt, dann genügt der Kehrwert
$\operatorname{qp}(u,k) = 1/\operatorname{pq}(u,k)$ der Differentialgleichung
\begin{equation}
(\operatorname{qp}'(u,k))^2
= 
\gamma \operatorname{qp}(u,k)^4
+
\beta \operatorname{qp}(u,k)^2
+
\alpha
\label{buch:elliptisch:eqn:kehrwertdgl}
\end{equation}
\end{satz}

\begin{table}
\centering
\def\lfn#1{\multicolumn{1}{|l|}{#1}}
\def\rfn#1{\multicolumn{1}{r|}{#1}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{l|>{$}c<{$}>{$}c<{$}>{$}c<{$}|r}
\cline{1-4}
\lfn{Funktion}
         &  \alpha   & \beta     &    \gamma  &\\
\hline
\lfn{sn}&    k^2    & -(1+k^2)  &      1     &\rfn{ns}\\
\lfn{cn}&   -k^2    & -(1-2k^2) &    1-k^2   &\rfn{nc}\\
\lfn{dn}&     1     &  2-k^2    &   -(1-k^2) &\rfn{nd}\\
\hline
\lfn{sc}&   1-k^2   &  2-k^2    &      1     &\rfn{cs}\\
\lfn{sd}&-k^2(1-k^2)&-(1-2k^2)  &       1    &\rfn{ds}\\
\lfn{cd}&    k^2    &-(1+k^2)   &      1     &\rfn{dc}\\
\hline 
                 &   \gamma  & \beta     &   \alpha   &\rfn{Reziproke}\\
\cline{2-5}
\end{tabular}
\caption{Koeffizienten der Differentialgleichungen für die Jacobischen
elliptischen Funktionen.
Der Kehrwert einer Funktion hat jeweils die Differentialgleichung der
ursprünglichen Funktion, in der die Koeffizienten $\alpha$ und $\gamma$
vertauscht worden sind.
\label{buch:elliptisch:table:differentialgleichungen}}
\end{table}

%
% Differentialgleichung zweiter Ordnung
%
\subsubsection{Differentialgleichung zweiter Ordnung}
Leitet die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
man dies nochmals nach $u$ ab, erhält man die Differentialgleichung
\[
2\operatorname{pq}''(u,k)\operatorname{pq}'(u,k)
=
4\alpha \operatorname{pq}(u,k)^3\operatorname{pq}'(u,k) + 2\beta \operatorname{pq}'(u,k)\operatorname{pq}(u,k).
\]
Teilt man auf beiden Seiten durch $2\operatorname{pq}'(u,k)$,
bleibt die nichtlineare
Differentialgleichung
\[
\frac{d^2\operatorname{pq}}{du^2}
=
\beta \operatorname{pq} + 2\alpha \operatorname{pq}^3.
\]
Dies ist die Gleichung eines harmonischen Oszillators mit einer 
Anharmonizität der Form $2\alpha z^3$.



%
% Jacobischen elliptische Funktionen und elliptische Integrale
%
\subsubsection{Jacobische elliptische Funktionen als elliptische Integrale}
Die in Tabelle~\ref{buch:elliptisch:tabelle:loesungsfunktionen}
zusammengestellten Differentialgleichungen ermöglichen nun, den
Zusammenhang zwischen den Funktionen 
$\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
und den unvollständigen elliptischen Integralen herzustellen.
Die Differentialgleichungen sind alle von der Form
\begin{equation}
\biggl(
\frac{d y}{d u}
\biggr)^2
=
p(u),
\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
\end{equation}
wobei $p(u)$ ein Polynom vierten Grades in $y$ ist.
Diese Differentialgleichung lässt sich mit Separation lösen.
Dazu zieht man aus~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} die
Wurzel
\begin{align}
\frac{dy}{du}
=
\sqrt{p(y)}
\notag
\intertext{und trennt die Variablen. Man erhält}
\int\frac{dy}{\sqrt{p(y)}} = u+C.
\label{buch:elliptisch:eqn:yintegral}
\end{align}
Solange $p(y)>0$ ist, ist der Integrand auf der linken Seite
von~\eqref{buch:elliptisch:eqn:yintegral} ebenfalls positiv und
das Integral ist eine monoton wachsende Funktion $F(y)$.
Insbesondere ist $F(y)$ invertierbar.
Die Lösung $y(u)$ der Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
ist daher 
\[
y(u) = F^{-1}(u+C).
\]
Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
der unvollständigen elliptischen Integrale.

%
% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
%
\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
\label{buch:elliptisch:jacobi:agm}}
\begin{table}
\centering
\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]

\begin{scope}[xshift=-2.4cm,yshift=1.2cm]
\fill[color=red!20]
	(-1.0,0) -- (-1.0,-2.1) -- (-1.8,-2.1) -- (0,-3.0)
	-- (1.8,-2.1) -- (1.0,-2.1) -- (1.0,0) -- cycle;
\node[color=white] at (0,-1.2) [scale=7] {\sf 1};
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=2.9cm,yshift=-1.8cm]
\fill[color=blue!20]
	(0.8,0) -- (0.8,2.1) -- (1.4,2.1) -- (0,3.0) -- (-1.4,2.1)
	-- (-0.8,2.1) -- (-0.8,0) -- cycle;
\node[color=white] at (0,1.2) [scale=7] {\sf 2};
\end{scope}

\node at (0,0) {
\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}l<{$}|}
\hline
n & a_n                & b_n                  & x_n              &
\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
\hline
0 & 1.0000000000000000 & 0.4358898943540673 & 0.5422823228691580 & = \operatorname{sn}(u,k)%
\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\
1 & 0.7179449471770336 & 0.6602195804079634 & 0.4157689781689663 & \mathstrut\\
2 & 0.6890822637924985 & 0.6884775317911533 & 0.4017521410983242 & \mathstrut\\
3 & 0.6887798977918259 & 0.6887798314243237 & 0.4016042867931862 & \mathstrut\\
4 & 0.6887798646080748 & 0.6887798646080740 & 0.4016042705654757 & \mathstrut\\
5 & 0.6887798646080744 & 0.6887798646080744 & 0.4016042705654755 & \mathstrut\\
6 &                    &                    & 0.4016042705654755 & = \sin(a_5u) 
\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
\hline
\end{tabular}
};
\end{tikzpicture}
\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2
mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels.
In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen
\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die
Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$.
Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels
Maschinengenauigkeit, was sich auch darin äussert, dass sich $x_5$ und
$x_6=\sin(a_5u)$ nicht unterscheiden.
\label{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}}
\end{table}
In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf
Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}
wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit 
Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann.
\index{Algorithmus!arithmetisch-geometrisches Mittel}%
\index{arithmetisch-geometrisches Mittel!Algorithmus}%
Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann
man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ 
verwenden.
Dazu geht man wie folgt vor:
\begin{enumerate}
\item
$k'=\sqrt{1-k^2}$.
\item
Berechne die Folgen des arithmetisch-geometrischen Mittels
$a_n$ und $b_n$ mit $a_0=1$ und $b_0=k'$, bis zum Folgenindex $N$,
bei dem ausreichende Konvergenz eintegreten ist.
\item
Setze $x_N = \sin(a_N \cdot u)$.
\item
Berechnet für absteigende $n=N-1,N-2,\dots$ die Folge $x_n$ mit Hilfe
der Rekursionsformel
\begin{equation}
x_{n}
=
\frac{2a_nx_{n+1}}{a_n+b_n+(a_n-b_n)x_{n+1}^2},
\label{buch:elliptisch:agm:xnrek}
\end{equation}
die aus \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
durch die Substitution $x_n = \sin t_n$ entsteht.
\item
Setze $\operatorname{sn}(u,k) = x_0$.
\end{enumerate}
Da die Formel \eqref{buch:elliptisch:agm:xnrek} nicht unter den
numerischen Stabilitätsproblemen leidet, die früher auf
Seite~\pageref{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
diskutiert wurden, ist die Berechnung stabil und sehr schnell.
Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}
zeigt die Berechnung am Beispiel $u=0.6$ und $k=0.2$.

%
% Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen
%
\subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellpolnul.pdf}
\caption{Werte der grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen
$\operatorname{sn}(u,k)$,
$\operatorname{cn}(u,k)$
und
$\operatorname{dn}(u,k)$
in den Ecken des Rechtecks mit Ecken $(0,0)$ und $(K,K+iK')$.
Links der Definitionsbereich, rechts die Werte der drei Funktionen.
Pole sind mit einem Kreuz ($\times$) bezeichnet, Nullstellen mit einem
Kreis ($\ocircle$).
\label{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellall.pdf}
\caption{Pole und Nullstellen aller Jacobischen elliptischen Funktionen
mit den gleichen Darstellungskonventionen wie in
Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul}
\label{buch:elliptisch:fig:ellall}}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/ellselection.pdf}
\caption{Auswahl einer Jacobischen elliptischen Funktion mit bestimmten
Nullstellen und Polen.
Nullstellen und Pole können in jeder der vier Ecken des fundamentalen
Rechtecks (gelb, oberer rechter Viertel des Periodenrechtecks) liegen.
Der erste Buchstabe des Namens der gesuchten Funktion ist der Buchstabe
der Ecke der Nullstelle, der zweite Buchstabe ist der Buchstabe der
Ecke des Poles.
Im Beispiel die Funktion $\operatorname{cd}(u,k)$, welche eine
Nullstelle in $K$ hat und einen Pol in $K+iK'$.
\label{buch:elliptisch:fig:selectell}}
\end{figure}
Für die Funktion $y=\operatorname{sn}(u,k)$ erfüllt die Differentialgleichung
\[
\frac{dy}{du}
=
\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)},
\]
welche mit dem unbestimmten Integral
\begin{equation}
u + C = \int\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2)(1-k^2y^2)}}
\label{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
\end{equation}
gelöst werden kann.
Der Wertebereich des Integrals in \eqref{buch:elliptisch:eqn:uyintegral}
wurde bereits in
Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:unvollstintegral}
auf Seite~\pageref{buch:elliptische:subsubsection:wertebereich}
diskutiert.
Daraus können jetzt Nullstellen und Pole der Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$
und mit Hilfe von Tabelle~\ref{buch:elliptisch:fig:jacobi-relationen}
auch für $\operatorname{cn}(u,k)$ und $\operatorname{dn}(u,k)$
abgelesen werden:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\operatorname{sn}(0,k)&=0
&&\qquad&
\operatorname{cn}(0,k)&=1
&&\qquad&
\operatorname{dn}(0,k)&=1
\\
\operatorname{sn}(iK',k)&=\infty
&&\qquad&
\operatorname{cn}(iK',k)&=\infty
&&\qquad&
\operatorname{dn}(iK',k)&=\infty
\\
\operatorname{sn}(K,k)&=1
&&\qquad&
\operatorname{cn}(K,k)&=0
&&\qquad&
\operatorname{dn}(K,k)&=k'
\\
\operatorname{sn}(K+iK',k)&=\frac{1}{k}
&&\qquad&
\operatorname{cn}(K+iK',k)&=\frac{k'}{ik}
&&\qquad&
\operatorname{dn}(K+iK',k)&=0
\end{aligned}
\label{buch:elliptische:eqn:eckwerte}
\end{equation}
Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellpolnul} zeigt diese Werte
an einer schematischen Darstellung des Definitionsbereiches auf.
Daraus lassen sich jetzt auch die Werte der abgeleiteten Jacobischen
elliptischen Funktionen ablesen, Pole und Nullstellen sind in
Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:ellall}
zusammengestellt.





%
% Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators
%
\subsubsection{Differentialgleichung des anharmonischen Oszillators}
Wir möchten die nichtlineare Differentialgleichung
\index{Differentialgleichung!das anharmonischen Oszillators}%
\begin{equation}
\biggl(
\frac{dx}{dt}
\biggr)^2
=
Ax^4+Bx^2 + C
\label{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
\end{equation}
mit Hilfe elliptischer Funktionen lösen.
Wir nehmen also an, dass die gesuchte Lösung eine Funktion der Form
\begin{equation}
x(t) = a\operatorname{zn}(bt,k)
\label{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz}
\end{equation}
ist.
Die erste Ableitung von $x(t)$ ist
\[
\dot{x}(t) 
=
a\operatorname{zn}'(bt,k).
\]

Indem wir diesen Lösungsansatz in die
Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl}
einsetzen, erhalten wir
\begin{equation}
a^2b^2 \operatorname{zn}'(bt,k)^2
=
a^4A\operatorname{zn}(bt,k)^4
+
a^2B\operatorname{zn}(bt,k)^2
+C
\label{buch:elliptisch:eqn:dglx}
\end{equation}
Andererseits wissen wir, dass $\operatorname{zn}(u,k)$ einer
Differentilgleichung der Form~\eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell}
erfüllt.
Wenn wir \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} durch $a^2b^2$ teilen, können wir
die rechte Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:dglx} mit der rechten
Seite von \eqref{buch:elliptisch:eqn:1storderdglell} vergleichen:
\[
\frac{a^2A}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^4
+
\frac{B}{b^2}\operatorname{zn}(bt,k)^2
+\frac{C}{a^2b^2}
=
\alpha\operatorname{zn}(bt,k)^4
+
\beta\operatorname{zn}(bt,k)^2
+
\gamma\operatorname{zn}(bt,k).
\]
Daraus ergeben sich die Gleichungen
\begin{align}
\alpha &\frac{a^2A}{b^2},
&
\beta &= \frac{B}{b^2}
&&\text{und}
&
\gamma &= \frac{C}{a^2b^2}
\label{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
\intertext{oder aufgelöst nach den Koeffizienten der ursprünglichen
Differentialgleichung}
A&=\frac{\alpha b^2}{a^2}
&
B&=\beta b^2
&&\text{und}&
C &= \gamma a^2b^2
\label{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
\end{align}
für die Koeffizienten der Differentialgleichung der zu verwendenden
Funktion.

Man beachte, dass nach \eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} die 
Koeffizienten $A$, $B$ und $C$ die gleichen Vorzeichen haben wie
$\alpha$, $\beta$ und $\gamma$, da in 
\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} nur mit Quadraten multipliziert
wird, die immer positiv sind.
Diese Vorzeichen bestimmen, welche der Funktionen gewählt werden muss.

In den Differentialgleichungen für die elliptischen Funktionen gibt
es nur den Parameter $k$, der angepasst werden kann.
Es folgt, dass die Gleichungen
\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl} 
auch $a$ und $b$ bestimmen.
Zum Beispiel folgt aus der letzten Gleichung, dass
\[
b = \pm\sqrt{\frac{B}{\beta}}.
\]
Damit folgt dann aus der zweiten
\[
a=\pm\sqrt{\frac{\beta C}{\gamma B}}.
\]
Die verbleibende Gleichung legt $k$ fest.
Das folgende Beispiel illustriert das Vorgehen am Beispiel einer
Gleichung, die Lösungsfunktion $\operatorname{sn}(u,k)$ verlangt.

\begin{beispiel}
Wir nehmen an, dass die Vorzeichen von $A$, $B$ und $C$ gemäss
Tabelle~\ref{buch:elliptische:tabelle:loesungsfunktionen} verlangen,
dass die Funktion $\operatorname{sn}(u,k)$ für die Lösung verwendet
werden muss.
Die Tabelle sagt dann auch, dass 
$\alpha=k^2$, $\beta=1$ und $\gamma=1$ gewählt werden müssen.
Aus dem Koeffizientenvergleich~\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffvergl}
folgt dann der Reihe nach
\begin{align*}
b&=\pm \sqrt{B}
\\
a&=\pm \sqrt{\frac{C}{B}}
\\
k^2
&=
\frac{AC}{B^2}.
\end{align*}
Man beachte, dass man $k^2$ durch Einsetzen von
\eqref{buch:elliptisch:eqn:koeffABC}
auch direkt aus den Koeffizienten $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$
erhalten kann, nämlich
\[
\frac{AC}{B^2}
=
\frac{\frac{\alpha b^2}{a^2} \gamma a^2b^2}{\beta^2 b^4}
=
\frac{\alpha\gamma}{\beta^2}.
\qedhere
\]
\end{beispiel}

Da alle Parameter im 
Lösungsansatz~\eqref{buch:elliptisch:eqn:loesungsansatz} bereits
festgelegt sind stellt sich die Frage, woher man einen weiteren
Parameter nehmen kann, mit dem Anfangsbedingungen erfüllen kann.
Die Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} ist
autonom, die Koeffizienten der rechten Seite der Differentialgleichung
sind nicht von der Zeit abhängig. 
Damit ist eine zeitverschobene Funktion $x(t-t_0)$ ebenfalls eine
Lösung der Differentialgleichung.
Die allgmeine Lösung der 
Differentialgleichung~\eqref{buch:elliptisch:eqn:allgdgl} hat
also die Form
\[
x(t) = a\operatorname{zn}(b(t-t_0)),
\]
wobei die Funktion $\operatorname{zn}(u,k)$ auf Grund der Vorzeichen
von $A$, $B$ und $C$ gewählt werden müssen.

Die Übungsaufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:1} ist als
Lernaufgabe konzipiert, mit der die Lösung der Differentialgleichung
des harmonischen Oszillators beispielhaft durchgearbeitet
werden kann.