1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
|
%
% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
%
% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
%
\section{Mathematischer Hintergrund
\label{0f1:section:mathHintergrund}}
\rhead{Mathematischer Hintergrund}
Basierend auf den Herleitungen des Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate beschrieben.
\subsection{Hypergeometrische Funktion
\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist ein Speziallfall der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
\begin{definition}
\label{0f1:math:qFp:def}
Die hypergeometrische Funktion
$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
\[
\mathstrut_pF_q
\biggl(
\begin{matrix}
a_1,\dots,a_p\\
b_1,\dots,b_q
\end{matrix}
;
x
\biggr)
=
\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
\]
\end{definition}
Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
\begin{equation}
\label{0f1:math:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1
\biggl(
\begin{matrix}
\text{---}
\\\
b_1
\end{matrix}
;
x
\biggr)
=
\mathstrut_0F_1(;b_1;x)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
\end{equation}
\subsection{Airy-Funktion
\label{0f1:subsection:airy}}
Die Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ und die verwandte Funktion $\operatorname{Bi}(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.
\begin{definition}
\label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
Die Differentialgleichung
$y'' - xy = 0$
heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}.
\end{definition}
Die Airy-Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen.
Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergeben sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $\operatorname{Ai}(0)=1$ und $\operatorname{Ai}'(0)=0$, sowie $\operatorname{Bi}(0)=0$ und $\operatorname{Bi}'(0)=1$:
\begin{align}
\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
\operatorname{Ai}(x)
=&
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
=
\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
\biggr).
\\
\operatorname{Bi}(x)
=&
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
=
x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
\frac{x^3}{9}
\biggr).
\qedhere
\end{align}
Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in dieser Arbeit die Airy Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ benutzt.
|
