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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
zu finden.

\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
\label{dreieck:subsection:minmax}}
Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
den Wert
\begin{align*}
F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
&=
P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
\\
&=
P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
\\
&=
P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
\\
&=
P(X\le x)^n
=
F_X(x)^n.
\end{align*}
Für die Gleichverteilung ist
\[
F_{\text{equi}}(x)
=
\begin{cases}
0&\qquad x< 0
\\
x&\qquad 0\le x\le 1
\\
1&\qquad 1<x.
\end{cases}
\]
In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
\[
F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
=
\begin{cases}
0&\qquad x<0\\
x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
1&\qquad 1 < x.
\end{cases}
\]
Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
\[
\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
=
\frac{d}{dx}
F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
=
\begin{cases}
nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
0       &\qquad \text{sonst}
\end{cases}
\]
kann man zum Beispiel den Erwartungswert
\[
E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
=
\int_{-\infty}^\infty 
x
\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
\,dx
=
\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
=
\biggl[
\frac{n}{n+1}x^{n+1}
\biggr]_0^1
=
\frac{n}{n+1}
\]
berechnen.

Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
Sie ist
\begin{align*}
F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
&=
P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
\\
&=
1-
P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
\\
&=
1-
(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
\\
&=
1-(1-F_X(x))^n,
\end{align*}
Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
Verteilungsfunktion des Minimums
\[
F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
=
\begin{cases}
0        &\qquad x<0        \\
1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
1        &\qquad 1 < x
\end{cases}
\]
mit Wahrscheinlichkeitsdichte
\[
\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
=
\frac{d}{dx}
F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
=
\begin{cases}
n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
0           &\qquad \text{sonst}
\end{cases}
\]
und Erwartungswert
\begin{align*}
E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
&=
\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
=
\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
\\
&=
\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
=
\biggl[
-
\frac{1}{n+1}
(1-x)^{n+1}
\biggr]_0^1
=
\frac{1}{n+1}.
\end{align*}
Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
Werten $X_i$.

\subsection{Der $k$-t-grösste Wert}
Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
Zufallsvariablen.
Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
mit
\[
X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
\]
bezeichnet.
Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
Ordnungsstatistiken.
Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
und
$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
sind die Fälle
\begin{align*}
X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
\end{align*}

Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
übersteigen.
Es muss also eine Partition von $[n]=\{1,\dots,n\}$ in eine
$k$-elementige $I=\{i_1,\dots,i_k\}$ Teilmenge und ihre
$(n-k)$-elementige Komplementmenge $[n]\setminus I$ geben
derart, dass die $X_{i} \le x$ sind für $i\in I$ und $X_{j}> x$ für 
$j\in [n]\setminus I$.
Daraus kann man ablesen, dass
\begin{align*}
F_{X_{k:n}}(x)
&=
P\biggl(
\bigvee_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x)
\wedge
\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x)
\biggr).
\intertext{Da die verschiedenen $k$-elementigen Teilmengen $I\subset[n]$
zu disjunkten Ereignissen gehören, ist die Wahrscheinlichkeit eine Summe}
&=
\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
P\biggl(
\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x)
\wedge
\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x)
\biggr)
\\
&=
\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
\prod_{i\in I}
P(X_i\le x)
\cdot
\prod_{j\in [n]\setminus I}
P(X_j > x)
\\
&=
\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
F_X(x)^k
(1-F_X(x))^{n-k}.
\intertext{Die Anzahl solcher Teilmengen $I$ ist gegeben durch den
Binomialkoeffizienten gebeben, die Verteilungsfunktion ist daher}
F_{X_{k:n}}(x)
&=
\binom{n}{k}
F_X(x)^k
(1-F_X(x))^{n-k}.
\end{align*}
Für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die Verteilungsfunktion
der $k$-ten Ordnungsstatistik
\[
F_{X_{k:n}}(x)
=
\binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}.
\]
Ihre Ableitung nach $x$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und damit
wird es jetzt auch möglich, den Erwartungswert zu ermitteln:
\begin{align*}
E(X_{k:n})
&=
\int_{0}^1
\underbrace{x\llap{\phantom{\bigg|}}\mathstrut}_{\downarrow}
\underbrace{\frac{d}{dx}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}}_{\uparrow}
\,dx
=
\biggl[
x\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}
\biggr]_0^1
-
\int_0^1
\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}
\,dx
\\
&=
\binom{n}{k}
\biggl(
0^{n-k}
-
\int_0^1  x^k(1-x)^{n-k}\,dx
\biggr)
\end{align*}