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\section{Rationale elliptische Funktionen}
Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den rationalen elliptischen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
\begin{align}
R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
&= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
&= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
\end{align}
Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf.
Wie bei den Tschebyscheff-Polynomen ist die Formel mit speziellen Funktionen geschrieben.
Es kann jedoch gezeigt werden, dass es sich tatsächlich um rationale Funktionen handelt, wie es für ein lineares Filter vorausgesetzt wird.
Die elliptischen Funktionen werden also genau so eingesetzt, dass die resultierenden Nullstellen und Pole eine rationale Funktion ergeben.
Anstelle des Kosinus bei den Tschebyscheff-Polynomen kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht.
Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome.
Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{buch:elliptisch:fig:ellall} können für alle inversen Jacobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex}
\caption{
$z$-Ebene der Funktion $z = \cd^{-1}(w, k)$.
Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
}
\label{ellfilter:fig:cd}
\end{figure}
Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equiripple-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
\caption{
$z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der rationalen elliptischen Funktionen.
Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt.
}
\label{ellfilter:fig:cd2}
\end{figure}
Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen.
Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen.
Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole und Punkte mit $\pm 1/k$ durchlaufen werden.
Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equiripple-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine rationale elliptische Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf}
\caption{$F_N$ und die resultierende Frequenzantwort eines elliptischen Filters.}
\label{ellfilter:fig:elliptic_freq}
\end{figure}
Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe von Polstellen bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichsverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
\subsection{Gradgleichung}
Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden.
In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imagiäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen.
Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert und vom Modul $k$ abhängig wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:kprime}.
\begin{figure}
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\input{papers/ellfilter/python/k.pgf}
\caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.}
\label{ellfilter:fig:kprime}
\end{figure}
$K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:degree_eq} zeigt das Problem geometrisch auf, wobei zwei Punkte $K+jK^\prime$ und $K_1+jK_1^\prime$ auf der Ortskurve gesucht sind.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz}
\caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem ($N=3$).}
\label{ellfilter:fig:degree_eq}
\end{figure}
Algebraisch kann so die Gradgleichung
\begin{equation}
N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
\end{equation}
aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch
\begin{equation}\label{ellfilter:eq:degeqsol}
k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
\quad \text{wobei} \quad
N = 2L+r.
\end{equation}
Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
\subsection{Berechnung der rationalen Funktion}
$k_1$ muss jedoch gar nicht berechnet werden, um $R_N$ in der Form einer rationale Funktion erhalten.
Die Ordnung $N$ und der Parameter $k$ können frei gewählt werden.
% $k_1$ muss dann mit \eqref{ellfilter:eq:degeqsol} oder mit numerischen Methoden berechnet werden.
Je kleiner $k$ gewählt wird, desto grösser wird die Dämpfung des Filters im Sperrbereich im Verhältnis zum Durchlassbereich.
Allerdings verliert das Filter dabei auch an Steilheit.
Wenn $k$ und $N$ bekannt sind, können die Position der Pol- und Nullstellen $p_i$ und $n_i$ in einem Raster konstruiert werden, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:pn}.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/pn.tikz.tex}
\caption{
Pole und Nullstellen in der $z = \cd^{-1}(w, k)$-Ebene für die Rücktransformation zur einer rationalen Funktion.
}
\label{ellfilter:fig:pn}
\end{figure}
Dabei muss aufgepasst werden, dass insgesamt nur $N$ Nullstellen und $N$ Pole gesetzt werden, da bei der transformation mit dem $\cd$ mehrere Werte auf einen abgebildet werden und mehrfache Pole und Nullstellen nicht erwünscht sind.
Wegen der Periodizität sind diese in der komplexen $z$-Ebene linear angeordnet:
\begin{align}
n_i(k) &= K\frac{2i+1}{N} \\
p_i(k) &= n_i + jK^\prime.
\end{align}
Durch das Rücktransformieren mit der $\cd$-Funktion gelangt man schlussendlich zu der rationalen Funktion
\begin{equation}
R_N(w, k) = r_0 \prod_{i=1}^N \frac{w - \cd \big(n_i(k), k \big)}{w - \cd \big(p_i(k), k \big)},
\end{equation}
wobei $r_0$ so gewählt werden muss, dass $R_N(w, k) = 1$.
\section{Elliptisches Filter}
Um ein elliptisches Filter auszulegen werden aber nicht die Pol- und Nullstellen der rationalen Funktion gebraucht, sondern diejenigen der Übertragungsfunktion $H(s)$ der komplexen Frequenz $s = j\Omega + \sigma$.
Der Bezug zum quadratischen Amplitudengang \eqref{ellfilter:eq:quadratic_transfer} ist dabei
\begin{equation}
|H(\Omega)|^2 = H(s) H(s^*),
\end{equation}
wobei $*$ die komplexe Konjugation kennzeichnet.
Die genaue Berechnung geht einiges tiefer in die Filtertheorie, und verlässt das Gebiet der speziellen Funktionen.
Der interessierte Leser wird auf \cite[Kapitel~5]{ellfilter:bib:orfanidis} verwiesen.
% \subsection{Schlussfolgerung}
% Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden.
% Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
% Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
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