1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
|
%
% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{FM und Bessel-Funktion
\label{fm:section:proof}}
\rhead{Herleitung}
Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\), wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich.
Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das modulierende Signal \(m(t)\) ist.
Somit haben wir unser \(x_c\) welches
\[
\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt))
\]
ist.
\subsection{Herleitung}
Das Ziel ist, unser moduliertes Signal mit der Bessel-Funktion so auszudrücken:
\begin{align}
x_c(t)
=
\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
&=
\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t)
\label{fm:eq:proof}
\end{align}
\subsubsection{Hilfsmittel}
Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme
\begin{align}
\cos(A + B)
&=
\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)
\label{fm:eq:addth1}
\\
2\cos (A)\cos (B)
&=
\cos(A-B)+\cos(A+B)
\label{fm:eq:addth2}
\\
2\sin(A)\sin(B)
&=
\cos(A-B)-\cos(A+B)
\label{fm:eq:addth3}
\end{align}
und die drei Bessel-Funktionsindentitäten,
\begin{align}
\cos(\beta\sin\phi)
&=
J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi)
\label{fm:eq:besselid1}
\\
\sin(\beta\sin\phi)
&=
2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi)
\label{fm:eq:besselid2}
\\
J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta)
\label{fm:eq:besselid3}
\end{align}
welche man im Kapitel \eqref{buch:fourier:eqn:expinphireal}, \eqref{buch:fourier:eqn:expinphiimaginary}, \eqref{buch:fourier:eqn:symetrie} findet.
\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem}
Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal
\[
x_c(t)
=
\cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt))
=
\cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_ct)\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
\label{fm:eq:start}
\]
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Cos-Teil}
Zu beginn wird der Cos-Teil
\begin{align*}
c(t)
&=
\cos(\omega_c t)\cdot\cos(\beta\sin(\omega_mt))
\end{align*}
mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum
\begin{align*}
c(t)
&=
\cos(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg]
\\
&=
J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2}}}
\end{align*}
%intertext{} Funktioniert nicht.
wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) ersetzt wurden.
\begin{align*}
c(t)
&=
J_0(\beta) \cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)} \,+\, \cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \}
\\
&=
\sum_{k=-\infty}^{-1} J_{2k}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c +2k \omega_m) t)}
\,+\,J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t+ 2\cdot0 \omega_m)
\,+\, \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta)\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t)
\end{align*}
wird.
Das Minus im Ersten Term wird zur negativen Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) ersetzt.
Da \(2k\) immer gerade ist, wird es durch alle negativen und positiven Ganzzahlen \(n\) ersetzt:
\begin{align*}
\sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t),
\label{fm:eq:gerade}
\end{align*}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Sin-Teil}
Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil
\begin{align*}
s(t)
&=
-\sin(\omega_c t)\cdot\sin(\beta\sin(\omega_m t)).
\end{align*}
Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu
\begin{align*}
s(t)
&=
-\sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ 2 \sum_{k=0}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg]
\\
&=
\sum_{k=0}^\infty -1 \cdot J_{2k+1}(\beta) 2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t).
\end{align*}
Da \(2k + 1\) alle ungeraden positiven Ganzzahlen entspricht wird es durch \(n\) ersetzt.
Wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht, so ersetzten wird \(J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\) ersetzt:
\begin{align*}
s(t)
&=
\sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos(n \omega_m t)}_{\text{Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3}}}.
\end{align*}
Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = n \omega_m t \),
somit wird daraus:
\begin{align*}
s(t)
&=
\sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c - n\omega_m) t)} \,-\, \cos((\omega_c + n\omega_m) t) \}
\\
&=
\sum_{n=- \infty}^{0} J_{n}(\beta) \overbrace{\cos((\omega_c + n \omega_m) t)}
\,-\, \sum_{n=0}^\infty J_{-n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\end{align*}
Auch hier wurde wieder eine zweite Summe \(\sum_{-\infty}^{-1}\) gebraucht um das Minus zu einem Plus zu wandeln.
Wenn \(n = 0 \) ist der Minuend gleich dem Subtrahend und somit dieser Teil \(=0\), das bedeutet \(n\) ended bei \(-1\) und started bei \(1\).
\begin{align*}
s(t)
&=
\sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
\underbrace{\,-\, \sum_{n=1}^\infty J_{-n}(\beta)} \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\end{align*}
Um aus diesem Subtrahend eine Addition zu kreiernen, wird die Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} gebraucht,
jedoch so \(-1 \cdot J_{-n}(\beta) = J_n(\beta)\) und daraus wird dann:
\begin{align*}
s(t)
&=
\sum_{n=- \infty}^{-1} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n \omega_m) t)
\,+\, \sum_{n=1}^\infty J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\end{align*}
Da \(n\) immer ungerade ist und \(0\) nicht zu den ungeraden zahlen zählt, kann man dies so vereinfacht
\[
s(t)
=
\sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t).
\label{fm:eq:ungerade}
\]
schreiben.
%------------------------------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Summe Zusammenführen}
Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade
\[
\sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\]
und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade
\[
\sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t)
\]
ergeben zusammen
\[
\cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt))
=
\sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t).
\]
Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen.
\newpage
%-----------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Bessel und Frequenzspektrum}
Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Bessel-Funktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/fm/Python animation/bessel.pgf}
\caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)}
\label{fig:bessel}
\end{figure}
TODO Grafik einfügen,
\newline
Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt
TODO
Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile.
\begin{itemize}
\item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Bessel-Funktion
\item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen.
\item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta.
\end{itemize}
%\subsection{De finibus bonorum et malorum
%\label{fm:subsection:bonorum}}
|
