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\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}}
\rhead{Anwendung}
\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter.
Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}.
\subsection{Feder-Masse-System}
Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}.
Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist.
Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$.
Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass
\begin{equation*}
k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}
\end{equation*}
Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung
\begin{equation}
x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{equation}
\begin{figure}
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\includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf}
%\input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex}
\caption{Einfaches Feder-Masse-System.}
\label{kra:fig:simple_mass_spring}
\end{figure}
\begin{figure}
\input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex}
\caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.}
\label{kra:fig:multi_mass_spring}
\end{figure}
\subsection{Hamilton-Funktion}
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten
$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
\begin{equation}
\label{kra:harmonischer_oszillator}
\begin{split}
\mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
&= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
\end{split}
\end{equation}
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
\begin{equation}
\label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
\dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
\qquad
\dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
\end{equation}
daraus folgt
\[
\dot{q} = \frac{p}{m}
\qquad
\dot{p} = -kq
\]
in Matrixschreibweise erhalten wir also
\[
\begin{pmatrix}
\dot{q} \\
\dot{p}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{m} \\
-k & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q \\
p
\end{pmatrix}
\]
Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen.
Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
\begin{align*}
\begin{split}
T &= T_1 + T_2 \\
&= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
\end{split}
\\
\begin{split}
V &= V_1 + V_c + V_2 \\
&= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
Die Hamilton-Funktion ist also
\begin{align*}
\begin{split}
\mathcal{H} &= T + V \\
&= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
\Rightarrow
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\
\dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2}
\end{alignedat}
\right.
\\
-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
\Rightarrow
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
\dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
\end{alignedat}
\right.
\end{align*}
In Matrixschreibweise erhalten wir
\begin{equation}
\label{kra:hamilton:multispringmass}
\begin{pmatrix}
\dot{q_1} \\
\dot{q_2} \\
\dot{p_1} \\
\dot{p_2} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\
-(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\
k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q_1 \\
q_2 \\
p_1 \\
p_2 \\
\end{pmatrix}
\Leftrightarrow
\dt
\begin{pmatrix}
Q \\
P \\
\end{pmatrix}
=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
0 & M \\
K & 0
\end{pmatrix}
}_{G}
\begin{pmatrix}
Q \\
P \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
\subsection{Phasenraum}
Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt.
Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme.
\subsubsection{Harmonischer Oszillator}
Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form
\begin{equation*}
q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi)
\end{equation*}
die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$.
Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$.
\begin{figure}
\input{papers/kra/images/phase_space.tex}
\caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.}
\label{kra:fig:phasenraum}
\end{figure}
\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System}
Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
\begin{equation}
\dt
\begin{pmatrix}
Q \\
P
\end{pmatrix}
=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
}_{\tilde{G}}
\begin{pmatrix}
Q \\
P
\end{pmatrix}
\end{equation}
Mit einsetzten folgt
\begin{align*}
\dot{Q} = AQ + BP \\
\dot{P} = CQ + DP
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{split}
\dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
&= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
&= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
&= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
&= C + DU - UA - UBU
\end{split}
\end{equation}
was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt.
% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots?
% @TODO Fazit ?
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