1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
|
\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}}
\section{Teil abc\label{kra:section:teilabc}}
\rhead{Teil abc}
\subsection{Hamilton-Funktion}
Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden.
Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die veralgemeinerten Ortskoordinaten
$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$,
wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$.
Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}.
Im Falle des einfachen Federmassesystems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_spring_mass},
setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.
\begin{equation}
\label{hamilton}
\begin{split}
\mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\
&= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}}
\end{split}
\end{equation}
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen}
\begin{equation}
\label{kra:hamilton:bewegungsgleichung}
\dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k}
\qquad
\dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k}
\end{equation}
daraus folgt
\[
\dot{q} = \frac{p}{m}
\qquad
\dot{p} = -kq
\]
in Matrixschreibweise erhalten wir also
\[
\begin{pmatrix}
\dot{q} \\
\dot{p}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{m} \\
-k & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q \\
p
\end{pmatrix}
\]
Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_spring_mass}, können wir analog vorgehen.
Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen.
Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$.
\begin{align*}
\begin{split}
T &= T_1 + T_2 \\
&= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}
\end{split}
\\
\begin{split}
V &= V_1 + V_c + V_2 \\
&= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
Die Hamilton-Funktion ist also
\begin{align*}
\begin{split}
\mathcal{H} &= T + V \\
&= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}
\end{split}
\end{align*}
Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern
\begin{align*}
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k}
\Rightarrow
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\
\dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2}
\end{alignedat}
\right.
\\
-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k}
\Rightarrow
\left\{
\begin{alignedat}{2}
\dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\
\dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2)
\end{alignedat}
\right.
\end{align*}
In Matrixschreibweise erhalten wir
\begin{equation}
\label{kra:hamilton:multispringmass}
\begin{pmatrix}
\dot{q_1} \\
\dot{q_2} \\
\dot{p_1} \\
\dot{p_2} \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\
-(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\
k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q_1 \\
q_2 \\
p_1 \\
p_2 \\
\end{pmatrix}
\Leftrightarrow
\dt
\begin{pmatrix}
Q \\
P \\
\end{pmatrix}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
0 & M \\
K & 0
\end{pmatrix}
}_{G}
\begin{pmatrix}
Q \\
P \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt,
wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$.
Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir
\begin{equation}
\dt
\begin{pmatrix}
Q \\
P
\end{pmatrix}
=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
}_{\tilde{G}}
\begin{pmatrix}
Q \\
P
\end{pmatrix}
\end{equation}
Mit einsetzten folgt
\begin{align*}
\dot{Q} = AQ + BP \\
\dot{P} = CQ + DP
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{split}
\dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\
&= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\
&= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\
&= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\
&= C + DU - UA - UBU
\end{split}
\end{equation}
was uns auf die zeitkontinuierliche Matrix-Riccati-Gleichung führt.
|
