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\section{Riccati
\label{kra:section:riccati}}
\rhead{Riccati}
\begin{equation}
y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x)
\end{equation}
% einfache (normale riccati gleichung und ihre loesung)
% (kann man diese bei einfachem federmasse system benutzten?)
% matrix riccati gleichung
Die zeitkontinuierliche Riccati-Matrix-Gleichung hat die Form
\begin{equation}
\label{kra:riccati:riccatiequation}
\dot{U(t)} = DU(t) - UA(t) - U(t)BU(t)
\end{equation}
Betrachten wir das Differentialgleichungssystem \ref{kra:riccati:derivation}
\begin{equation}
\label{kra:riccati:derivation}
\dt
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}
=
\underbrace{
\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}
}_{H}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}
\end{equation}
interessieren wir uns für die zeitliche Änderung der Grösse $U = YX^{-1}$, so erhalten wir durch einsetzten
\begin{align*}
\dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\
& = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1}) \\
& = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1}) \\
& = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U}) \\
& = C + DU - UA - UBU
\end{align*}
was uns auf die Riccati-Matrix-Gleichung \ref{kra:riccati:riccatiequation} führt.
Die Lösung dieser Gleichung erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
X(t) \\
Y(t)
\end{pmatrix}
=
\Phi(t_0, t)
\begin{pmatrix}
I(t) \\
U_0(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\
\Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I(t) \\
U_0(t)
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
U(t) =
\begin{pmatrix}
\Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t)
\end{pmatrix}
^{-1}
\end{equation}
wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist.
\begin{equation}
\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}
\end{equation}
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