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% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode
\label{kreismembran:section:teil3}}
\rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode}
Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}
=
c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}
+
\frac{1}{r}
\frac{\partial u}{\partial r} \right), \quad 0<r<\infty, \quad t>0
\label{eq:PDE_inf_membane}
\end{equation*}
\begin{align}
u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty
\label{eq:PDE_inf_membane_RB}
\end{align}
Mit Anwendung der Hankel-Transformation nullter Ordnung in Abhängigkeit von $r$ auf die Gleichungen \eqref{eq:PDE_inf_membane} und \eqref{eq:PDE_inf_membane_RB}:
\begin{align}
\tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) dr,
\end{align}
bekommt man:
\begin{equation*}
\frac{d^2 \tilde{u}}{dt^2} + c^2\kappa^2\tilde{u}=0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad
\frac{\partial}{\partial t}\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
\end{equation*}
Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie schon gesehen, wie folgt
\begin{equation*}
\tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t).
\end{equation*}
Wendet man an nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung
\begin{align}
u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) d\kappa.
\label{eq:formale_lösung}
\end{align}
Es wird daher davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird
\begin{equation*}
u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d}{dt}(r,0)=g(r)=0
\end{equation*}
so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
\begin{equation*}
\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}
\end{equation*}
Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
\begin{align*}
u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t)dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r)dk\\
&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}
\end{align*}
\subsection{Vergleich der Lösungen
\label{kreismembran:vergleich}}
Hier kommt noch der Vergleich der Lösungen ;)
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