aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
blob: b5e11314b359b5af534a2f9875ae2c2fad9cd08c (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
\section{Approximieren der Gamma-Funktion}

\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$}

\begin{align*}
\Gamma(z)
 & =
\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
\uncover<2->{
\approx
\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
}
\uncover<3->{
=
\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
}
\\\\
\uncover<4->{
 & \text{wobei }
A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
}
\end{align*}

\end{frame}

\begin{frame}{Fehlerabschätzung}
\begin{align*}
R_n(\xi)
 & =
\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
\\
 & =
(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1}
,\quad
0 < \xi < \infty
\end{align*}

% \textbf{Probleme:}
\begin{itemize}
\item Funktion ist unbeschränkt
\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an
\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Einfacher Ansatz}

\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte
von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?}

\textbf{Beobachtungen}
\begin{itemize}
\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$
\item Gewisse Periodizität zu erkennen
\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler
\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler
\item $a$ ist abhängig von $n$
\end{itemize}

\uncover<2->{
\textbf{Ursache?}
\begin{itemize}
\item Vermutung: Integrand ist problematisch
}
\uncover<3->{
\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{$f(x) = x^z$}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf}
% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf}
% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Neuer Ansatz?}

\textbf{Vermutung}
\begin{itemize}
\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal
ist
\item $a(n) > 0$
\end{itemize}

\uncover<2->{
\textbf{Idee}
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann
mit Funktionalgleichung zurückverschieben
\end{itemize}
}

\uncover<3->{
\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?}
\begin{itemize}
\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
}
\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Verschiebungsterm}
\begin{columns}
\begin{column}{0.625\textwidth}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf}
\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.375\textwidth}
\begin{align*}
\Gamma(z)
\approx
\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
\end{align*}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
\begin{columns}
\begin{column}{0.65\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\vspace{-12pt}
% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf}
% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.34\textwidth}
\begin{align*}
\hat{m}
&=
\alpha n + \beta
\\
&\approx
1.34154 n + 0.848786
\\
m^*
&=
\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
\end{align*}
\end{column}
\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf}
\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{}
\begin{figure}[h]
\centering
% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf}
\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode}
Maximaler relativer Fehler für $n=6$
\begin{itemize}
    \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$
    \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ 
\end{itemize}
\end{frame}