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% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Beispiel Verfolgungskurve
\label{lambertw:section:teil4}}
\rhead{Beispiel Verfolgungskurve}
In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben.
\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade
\label{lambertw:subsection:malorum}}
Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
\begin{equation}
A
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
;
P
=
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
\label{lambertw:equation2}
\end{equation}
Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
\begin{equation}
\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
\circ
\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
=
1
\label{lambertw:equation3}
\end{equation}
Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL:
\[
\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
\circ
\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}\\
\]
\begin{equation}
-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}
\label{lambertw:equation4}
\end{equation}
Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus.
\begin{align*}
((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2
&= x^2 + (t-y)^2 \\
x^2 \dot{x}^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (t-y)^2 \dot{y}
&= x^2 + (t-y)^2 \\
\dot{x}^2 x^2 - x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{y}^2 (t-y)^2 - (t-y)^2
&= 0 \\
(\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2
&= 0
\end{align*}
Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden, anschliessend wird die Gleichung mit \(-1\) multipliziert:
\[
\underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2
= 0
\]
\begin{align*}
- \dot{y}^2 \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} - \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
&= 0 \\
\dot{y}^2 \cdot x^2 + 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2
&= 0
\end{align*}
Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Ausdruck wesentlich vereinfacht:
\begin{align*}
x^2 \dot{y}^2 + 2 \cdot x \dot{y} \cdot (t-y) \dot{x} + (t-y)^2 \dot{x}^2
&= 0 \\
(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
&= 0
\end{align*}
Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:equation4} eine wesentlich einfachere DGL:
\begin{equation}
x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
= 0
\label{lambertw:equation5}
\end{equation}
Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht.
\[
x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
= 0
\]
Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL:
\begin{equation}
x y^{\prime} + t - y
= 0
\label{lambertw:equation6}
\end{equation}
Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man
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