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% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Lösung}
\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
Die Lösung ist somit
\begin{equation}
i(z)
=
A\cos{
\left (
\sqrt{\lambda + \mu}z
\right )}
+
B\sin{
\left (
\sqrt{\lambda + \mu}z
\right )}.
\end{equation}
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
\begin{definition}
Die Funktion
\begin{equation*}
W_{k,m}(z) =
e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{2}}
+ m - k, 1 + 2m; z)
\end{equation*}
heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
von der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d z^2} +
\left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
\label{parzyl:eq:whitDiffEq}
\end{equation}
\end{definition}
Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
\begin{equation}
w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
\end{equation}
als Lösung hat.
Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
\begin{equation}
\frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
\end{equation}
resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie
\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
$w$ als Lösung haben.
Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
eine sondern zwei Lösungen.
Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
\begin{align}
w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
\end{align}
als Lösungen.
Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
\begin{align}
\label{parzyl:eq:solution_dgl}
w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{4}}
- k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
{}_{1} F_{1}
({\textstyle \frac{3}{4}}
- k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
\end{align}
In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
\begin{equation}
D_n(z) = \frac{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
}{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
}
M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+
\frac{
\Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
}{
\Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
}
M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
\end{equation}
welche die Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
\end{equation}
löst.
In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
\begin{align}
U(a,z) &=
\cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
- \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 \\
V(a,z) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
\sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
\right\}
\end{align}
mit
\begin{align}
Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
{2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
{2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
\end{align}
der Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{d z^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 + a\right) y = 0
\end{equation}
beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
ausgedrückt werden
\begin{align}
U(a,z) &= D_{-a-1/2}(z) \\
V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
\left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
\end{align}
TODO Plot
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