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% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2
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% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\section{Anwendung in der Physik
\label{parzyl:section:teil2}}
\rhead{Anwendung in der Physik}
Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
\begin{figure}
\centering
\begin{minipage}{.7\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
\label{parzyl:fig:leiterplatte}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{.25\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
\end{minipage}
\end{figure}
Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
\begin{equation}
F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
\end{equation}
Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
\begin{equation}
\frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
=
\frac{\partial V(x,y)}{\partial y}
\qquad
\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
=
-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
\end{equation}
gelten.
Aus dieser Bedingung folgt
\begin{equation}
\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
\underbrace{
\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+
\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
=
0
}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
\qquad
\underbrace{
\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+
\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
=
0
}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
\end{equation}
Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
\begin{equation}
\nabla^2\phi(x,y) = 0.
\end{equation}
Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
\begin{equation}
\phi(x,y) = U(x,y).
\end{equation}
Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
\begin{equation}
E(x,y) = V(x,y).
\end{equation}
Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete
komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
F(s)
=
\sqrt{s}
=
\sqrt{x + iy}.
\end{equation}
Dies kann umgeformt werden zu
\begin{equation}
F(s)
=
\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
+
i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
.
\end{equation}
Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
\begin{equation}
\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
\end{equation}
beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
\begin{equation}
x = \sigma \tau,
\end{equation}
\begin{equation}
y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
\end{equation}
so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
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